设 $X_1, X_2, \cdots, X_m$ 和 $Y_1, Y_2, \cdots, Y_n$ 分别是从正态总体 $X \sim N\left(\mu_1, \sigma^2\right)$ 和 总体 $Y \sim$ $N\left(\mu_2, \sigma^2\right)$ 中抽取的两个独立样本． $\bar{X}$ 和 $\bar{Y}$ 分别表示 $X$ 和 $Y$ 的样本均值，$S_1^2$ 和 $S_2^2$ 分别表示 $X$ 和$Y$ 的修正的样本方差，$a$ 和 $b$ 是两个非零实数．试求

$$
Z=\frac{a\left(\bar{X}-\mu_1\right)+b\left(\bar{Y}-\mu_2\right)}{\sqrt{\frac{(m-1) S_1^2+(n-1) S_2^2}{m+n-2}} \sqrt{\frac{a^2}{m}+\frac{b^2}{n}}}
$$


的概率分布．