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函数的奇偶性与周期性、对称性

发布日期 2025/4/16 18:33:11      查看 0      加入组卷      查看作者     
单选题
已知函数 $f(x), g(x)$ 的定义域均为 R ，且 $f(x)+g(2-x)=5, g(x)-f(x-4)=7$ ．若 $y=g(x)$ 的图像关于直线 $x=2$ 对称，$g(2)=4$ ，则 $\sum_{k=1}^{22} f(k)=(\quad)$
$\text{A.}$ -21 $\text{B.}$ -22 $\text{C.}$ -23 $\text{D.}$ -24
已知函数 $f(x)$ 的定义域为 R ，且 $f(x+y)+f(x-y)=f(x) f(y), f(1)=1$ ，则 $\sum_{k=1}^{22} f(k)=(\quad)$
$\text{A.}$ -3 $\text{B.}$ -2 $\text{C.}$ 0 $\text{D.}$ 1
设 $f(x)$ 是定义域为 R 的奇函数，且 $f(1+x)=f(-x)$ ．若 $f\left(-\frac{1}{3}\right)=\frac{1}{3}$ ，则 $f\left(\frac{5}{3}\right)=(\quad)$
$\text{A.}$ $-\frac{5}{3}$ $\text{B.}$ $-\frac{1}{3}$ $\text{C.}$ $\frac{1}{3}$ $\text{D.}$ $\frac{5}{3}$
设函数 $f(x)$ 的定义域为 $R , f(x+1)$ 为奇函数，$f(x+2)$ 为偶函数，当 $x \in[1,2]$ 时，$f(x)=a x^2+b$ ．若 $f(0)+f(3)=6$ ，则 $f\left(\frac{9}{2}\right)=$

$\text{A.}$ $-\frac{9}{4}$ $\text{B.}$ $-\frac{3}{2}$ $\text{C.}$ $\frac{7}{4}$ $\text{D.}$ $\frac{5}{2}$
设函数 $f(x)=\frac{1-x}{1+x}$ ，则下列函数中为奇函数的是（ ）
$\text{A.}$ $f(x-1)-1$ $\text{B.}$ $f(x-1)+1$ $\text{C.}$ $f(x+1)-1$ $\text{D.}$ $f(x+1)+1$
已知函数 $f(x)$ 的定义域为 $R , f(x+2)$ 为偶函数，$f(2 x+1)$ 为奇函数，则（）
$\text{A.}$ $f\left(-\frac{1}{2}\right)=0$ $\text{B.}$ $f(-1)=0$ $\text{C.}$ $f(2)=0$ $\text{D.}$ $f(4)=0$
设函数 $f(x)=\ln |2 x+1|-\ln |2 x-1|$ ，则 $f(x)(\quad)$
$\text{A.}$ 是偶函数，且在 $\left(\frac{1}{2},+\infty\right)$ 单调递增 $\text{B.}$ 是奇函数，且在 $\left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$ 单调递减 $\text{C.}$ 是偶函数，且在 $\left(-\infty,-\frac{1}{2}\right)$ 单调递增 $\text{D.}$ 是奇函数，且在 $\left(-\infty,-\frac{1}{2}\right)$ 单调递减
设函数 $f(x)=x^3-\frac{1}{x^3}$ ，则 $f(x)(\quad)$
$\text{A.}$ 是奇函数，且在 $(0,+\infty)$ 单调递增 $\text{B.}$ 是奇函数，且在 $(0,+\infty)$ 单调递减 $\text{C.}$ 是偶函数，且在 $(0,+\infty)$ 单调递增 $\text{D.}$ 是偶函数，且在 $(0,+\infty)$ 单调递减
若定义在 $R$ 的奇函数 $f(x)$ 在 $(-\infty, 0)$ 单调递减，且 $f(2)=0$ ，则满足 $x f(x-1) \geq 0$ 的 $x$ 的取值范围是（ ）
$\text{A.}$ $[-1,1] \cup[3,+\infty)$ $\text{B.}$ $[-3,-1] \cup[0,1]$ $\text{C.}$ $[-1,0] \cup[1,+\infty)$ $\text{D.}$ $[-1,0] \cup[1,3]$
下列函数中，既是奇函数又是增函数的为


$\text{A.}$ $y=x+1$ $\text{B.}$ $y=-x^3$ $\text{C.}$ $y=\frac{1}{x}$ $\text{D.}$ $y=x|x|$
已知函数 $f(x)$ 的定义域为 $R$ ．当 $x < 0$ 时，$f(x)=x^3-1$ ；当 $-1 \leq x \leq 1$ 时，$f(-x)=-f(x)$ ；当 $x>\frac{1}{2}$ 时，$f\left(x+\frac{1}{2}\right)=f\left(x-\frac{1}{2}\right)$ ，则 $f(6)=$

$\text{A.}$ -2 $\text{B.}$ -1 $\text{C.}$ 0 $\text{D.}$ 2
设 $f(x)$ 是定义域为 $R$ 的偶函数，且在 $(0,+\infty)$ 单调递减，则
$\text{A.}$ $f\left(\log _3 \frac{1}{4}\right)>f\left(2^{-\frac{3}{2}}\right)>f\left(2^{-\frac{2}{3}}\right)$ $\text{B.}$ $f\left(\log _3 \frac{1}{4}\right)>f\left(2^{-\frac{2}{3}}\right)>f\left(2^{-\frac{3}{2}}\right)$ $\text{C.}$ $f\left(2^{-\frac{3}{2}}\right)>f\left(2^{-\frac{2}{3}}\right)>f\left(\log _3 \frac{1}{4}\right)$ $\text{D.}$ $f\left(2^{-\frac{2}{3}}\right)>f\left(2^{-\frac{3}{2}}\right)>f\left(\log _3 \frac{1}{4}\right)$
已知 $f(x)$ 为定义在 $R$ 上的奇函数，当 $x \geq 0$ 时，有 $f(x+1)=-f(x)$ ，且当 $x \in[0,1)$ 时， $f(x)=\log _2(x+1)$ ，下列命题正确的是（ ）

$\text{A.}$ $f(2019)+f(-2020)=0$ $\text{B.}$ 函数 $f(x)$ 在定义域上是周期为 2 的函数 $\text{C.}$ 直线 $y=x$ 与函数 $f(x)$ 的图象有 2 个交点 $\text{D.}$ 函数 $f(x)$ 的值域为 $[-1,1]$
已知函数 $f(x)$ 是 $R$ 上的奇函数，当 $x>0$ 时，$f(x)=\ln x+\frac{a}{2 x}$ ，若 $f( e )+f(0)=-3$ ， e 是自然对数的底数，则 $f(-1)=(\quad)$

$\text{A.}$ e $\text{B.}$ 2 e $\text{C.}$ 3 e $\text{D.}$ 4 e
设偶函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增，且 $f(4)=0$ ，则不等式 $\frac{f(x)+f(-x)}{2 x} < 0$ 的解集是 $(\quad)$
$\text{A.}$ $(-4,4)$ $\text{B.}$ $(-4,0) U (0,4)$ $\text{C.}$ $(-4,0) \cup(4,+\infty)$ $\text{D.}$ $(-\infty,-4) U (0,4)$
函数 $f(x)$ 的定义域为 R ，若 $f(x+1)$ 是奇函数，$f(x-1)$ 是偶函数，则（ ）
$\text{A.}$ $f(x)$ 是奇函数 $\text{B.}$ $f(x+3)$ 是偶函数 $\text{C.}$ $f(3)=0$ $\text{D.}$ $f(x)=f(x+3)$
设函数 $f(x)=\left(\frac{3}{2}\right)^{|x|}+x^2$ ，若 $a=f(\ln 3), b=f\left(-\log _5 2\right), c=f\left(\frac{1}{\sqrt{ e }}\right)$（e s 为自然对数的底数），则（ ）

$\text{A.}$ $a>b>c$ $\text{B.}$ $c>b>a$ $\text{C.}$ $c>a>b$ $\text{D.}$ $a>c>b$
填空题
已知 $f(x)$ 是奇函数，且当 $x < 0$ 时，$f(x)=- e ^{a x}$ ．若 $f(\ln 2)=8$ ，则 $a=$
已知函数 $f(x)=\ln \frac{x-a}{1+a x}$ 是奇函数，则 $a$ 的值为
已知函数 $f(x)=a x^3-2 b x^2+x$ 是定义在 $[2 a+1,3-a]$ 上的奇函数，则 $a+b=$
判断 $f(x)=x \lg \left(x+\sqrt{x^2+1}\right)$ 奇偶性
已知定义在 $R$ 上的函数满足 $f(3-x)=-f(3+x)$ ，且 $f(x)$ 图像关于 $x=1$ 对称，当 $x \in(1,2]$ 时， $f(x)=\log _2(2 x+1)$ ，则 $f\left(\frac{825}{2}\right)=$
函数 $f(x)$ 满足 $f(x+4)=f(x)(x \in R )$ ，且在区间 $(-2,2]$ 上，

$$
f(x)=\left\{\begin{array}{l}
\cos \frac{\pi x}{2}, 0 < x \leqslant 2, \\
\left|x+\frac{1}{2}\right|,-2 < x \leqslant 0,
\end{array} \text { 则 } f(f(15))\right.
$$


的值为
若函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}2^{-x}, x \leqslant 0, \\ f(x-1)-f(x-2), x>0,\end{array} \quad\right.$ 则 $f(2023)=$
解答题
判断 $f(x)=(1-x) \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}$ 奇偶性
多选题
已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{c}-x^2-2 x, x < 0 \\ f(x-2), x \geq 0\end{array}\right.$ ，以下结论正确的是（ ）
$\text{A.}$ $f(-3)+f(2019)=-3$ $\text{B.}$ $f(x)$ 在区间 $[4,5]$ 上是增函数 $\text{C.}$ 若方程 $f(x)=k x+1$ 恰有 3 个实根，则 $k \in\left(-\frac{1}{2},-\frac{1}{4}\right)$ $\text{D.}$ 若函数 $y=f(x)-b$ 在 $(-\infty, 4)$ 上有 6 个零点 $x_i(i=1,2,3,4,5,6)$ ，则 $\sum_{i=1}^6 x_i f\left(x_i\right)$ 的取值范围是 $(0,6)$

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