设函数 $f(x)=\ln |2 x+1|-\ln |2 x-1|$ ，则 $f(x)(\quad)$
$\text{A.}$ 是偶函数，且在 $\left(\frac{1}{2},+\infty\right)$ 单调递增
$\text{B.}$ 是奇函数，且在 $\left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$ 单调递减
$\text{C.}$ 是偶函数，且在 $\left(-\infty,-\frac{1}{2}\right)$ 单调递增
$\text{D.}$ 是奇函数，且在 $\left(-\infty,-\frac{1}{2}\right)$ 单调递减
$\text{E.}$
$\text{F.}$