解答题 （共 8 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求所有的正整数 $n$ ，使得 $3^n+n^2+2019$ 为完全平方数
如图 1，在锐角 $\triangle A B C$ 中，$A B>A C, O, ~ H$ 分别为其外心，垂心，$M$ 为边 $B C$ 的中点．设 $A M$ 的延长线与 $\triangle B H C$ 的外接圆交于点 $K$ ，直线 $H K$ 与 $B C$ 交于点 $N$ ．证明：若 $\angle B A M=\angle C A N$ ，则 $A N \perp O H$ ．
已知 $S=\{(i, j) \mid i, j=1,2, \cdots, 100\}$ 为直角坐标平面上的 $100 \times 100$ 个整点构成的集合．将 $S$ 中的每个点染为给定的四种颜色之一。求以 $S$ 中四个颜色互不相同的点为顶点且边平行于坐标轴的矩形个数的最大可能值
设 $n(n \geqslant 2)$ 为给定的整数．求最小的实数 $\lambda$ ，使得对于任意实数 $x_1, x_2, \cdots, x_n \in[0,1]$ ，存在 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n \in\{0,1\}$ ，满足：对于任意的 $1 \leqslant i \leqslant j \leqslant n$ ，均有 $\left|\sum_{k=i}^j\left(\varepsilon_k-x_k\right)\right| \leqslant \lambda$ ．
如图 2，在锐角 $\triangle A B C$ 中，$A B>A C, O, ~ H$ 分别为其外心，垂心．过点 $H$ 作 $A B$ 的平行线，与 $A C$ 交于点 $M$ ；过点 $H$ 作 $A C$ 的平行线，与 $A B$ 交于点 $N$ ．设 $L$ 为 $H$ 关于 $M N$ 的对称点，直线 $O L$ 与 $A H$ 交于点 $K$ 证明：$K, ~ M, ~ L, ~ N$ 四点共圆．
设 $n(n \geqslant 2)$ 个正实数 $a_1, a_2, \cdots, a_n$ 满足 $a_1 \leqslant a_2 \leqslant \cdots \leqslant a_n$ ，证明：
$$
\sum_{1 \leqslant i < j \leqslant n}\left(a_i+a_j\right)^2\left(\frac{1}{i^2}+\frac{1}{j^2}\right) \geqslant 4(n-1) \sum_{i=1}^n \frac{a_i^2}{i^2} .
$$
证明：对于任意的正整数 $k$ ，至多存在有限个集合 $T$ ，满足下列条件：
（1）$T$ 由有限个素数组成；
（2）$\prod_{p \in T} p \mid \prod_{p \in T}(p+k)$ ．
称形如 $\{x, 2 x, 3 x\}$ 的集合为＂好的＂．对给定的整数 $n(n \geqslant 3)$ ，问：由 $n$ 个正整数构成的集合最多能有多少个好子集？