设 $n(n \geqslant 2)$ 个正实数 $a_1, a_2, \cdots, a_n$ 满足 $a_1 \leqslant a_2 \leqslant \cdots \leqslant a_n$ ，证明：

$$
\sum_{1 \leqslant i < j \leqslant n}\left(a_i+a_j\right)^2\left(\frac{1}{i^2}+\frac{1}{j^2}\right) \geqslant 4(n-1) \sum_{i=1}^n \frac{a_i^2}{i^2} .
$$