解答题 （共 9 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $E \subset R ^n$ ，证明：$E^0$ 与 $\left(E^c\right)^0$ 都为开集，$E$ 的边界 $\partial E=E^b$ 都为闭集．
（1）设 $E_i \subset R ^n, i=1,2, \cdots, k$ ．证明：
$$
\bigcup_{i=1}^k E_i^{\prime}=\left(\bigcup_{i=1}^k E_i\right)^{\prime} ; \quad \bigcup_{i=1}^k \bar{E}_i=\overline{\bigcup_{i=1}^k E_i}
$$
（2）设 $E_i \subset R ^n, i=1,2, \cdots$ ．证明：
$$
\bigcup_{i=1}^{\infty} E_i^{\prime} \subset\left(\bigcup_{i=1}^{\infty} E_i\right)^{\prime} ; \quad \bigcup_{i=1}^{\infty} \bar{E}_i \subset \overline{\bigcup_{i=1}^{\infty} E_i}
$$
进而是否有
$$
\bigcup_{i=1}^{\infty} E_i^{\prime}=\left(\bigcup_{i=1}^{\infty} E_i\right)^{\prime} ? \quad \bigcup_{i=1}^{\infty} \bar{E}_i=\overline{\bigcup_{i=1}^{\infty} E_i} ?
$$
设 $E \subset R ^n$ 为孤立点集，证明：$E$ 为至多可数集．
证明： $R ^n$ 中每个闭集为 $G_\delta$ 集；每个开集为 $F_\sigma$ 集．
证明：$F \subset R ^n$ 为有界闭集 $\Leftrightarrow$ 对 $F$ 的任何无限子集 $E$ ，必有 $E^{\prime} \cap F \neq \varnothing$ ．
设 $f: R ^1 \rightarrow R$ 为实函数．证明：
$f$ 为连续函数 $\Leftrightarrow$ 对 $\forall t \in R$ ，点集 $\{x \mid f(x) \leqslant t\}$ 与 $\{x \mid f(x) \geqslant t\}$ 都为闭集．
设 $f: R ^1 \rightarrow R$ 为可导函数．证明：
$f^{\prime}$ 为连续函数 $\Leftrightarrow$ 对 $\forall t \in R$ ，点集 $\left\{x \in R ^1 \mid f^{\prime}(x)=t\right\}$ 为闭集．
设 $f: \mathbb{R}^1 \rightarrow \mathbb{R}$ 为实函数．证明：
$f$ 为连续函数 $\Leftrightarrow$ 对 $\forall t \in \mathbb{R}$ ，点集 $\{x \mid f(x) \leqslant t\}$ 与 $\{x \mid f(x) \geqslant t\}$ 都为闭集．
设 $f: \mathbb{R}^1 \rightarrow \mathbb{R}$ 为可导函数．证明：
$f^{\prime}$ 为连续函数 $\Leftrightarrow$ 对 $\forall t \in \mathbb{R}$ ，点集 $\left\{x \in \mathbb{R}^1 \mid f^{\prime}(x)=t\right\}$ 为闭集．