判断下列命题是否正确．
设 $A \in M_{m, n}$ ，对于线性齐次方程组 $A x =0$ ，若向量组 $\eta_1, \eta_2, \eta_3 \in R^n$ ，是它的一个基础解系，则

求解齐次线性方程组

$$
\left\{\begin{array}{r}
x_1+2 x_2+x_3+x_4+x_5=0 \\
2 x_1+4 x_2+3 x_3+x_4+x_5=0 \\
-x_1-2 x_2+x_3+3 x_4-3 x_5=0 \\
2 x_3+5 x_4-2 x_5=0
\end{array}\right.
$$

$t$ 为何值时，齐次线性方程组

$$
\left\{\begin{array}{l}
x_1+x_2+t x_3=0 \\
x_1-x_2+2 x_3=0 \\
-x_1+t x_2+x_3=0
\end{array}\right.
$$


有非零解，并此时求其一般解。

已知线性方程组

$$
\left\{\begin{array}{l}
x_1+x_2+x_3=0 \\
a x_1+b x_2+c x_3=0 \\
a^2 x_1+b^2 x_2+c^2 x_3=0 \quad(a, b, c \text { 均不为零 })
\end{array}\right.
$$


问：（1）$a, b, c$ 满足什么条件时，方程组只有零解？
（2）$a, b, c$ 满足什么条件时，方程组有无穷多组解，并此时求出全部解。

已知方程组（I）和方程组（II）为
（I）$\left\{\begin{array}{l}x_1+x_2=0, \\ x_2-x_4=0,\end{array}\right.$
（II）$\left\{\begin{array}{l}x_1-x_2+x_3=0, \\ x_2-x_3+x_4=0 .\end{array}\right.$
求（I）和（II）的公共解．

已知 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ 是线性方程组 $A x =0$ 的一个基础解系，若 $\beta_1=\alpha_1+t \alpha_2, \beta_2=\alpha_2+t \alpha_3, \beta_3=\alpha_3+t \alpha_4, \beta_4=\alpha_4+t \alpha_1$ 。讨论实数 $t$ 满足什么关系时，$\beta_1, \beta_2, \beta_3, \beta_4$ 也是 $A x =0$ 的一个基础解系。

$$
(I)\left\{\begin{array}{cc}
a_{11} x_1+a_{12} x_2+\cdots+a_{12 n} x_{2 n} & =0 \\
a_{21} x_1+a_{22} x_2+\cdots+a_{22 n} x_{2 n} & =0 \\
& \vdots \\
a_{n 1} x_1+a_{n 2} x_2+\cdots+a_{n 2 n} x_{2 n} & =0
\end{array}\right.
$$


的一个基础解系为 $\left(b_{11}, b_{12}, \cdots, b_{12 n}\right)^{ T },\left(b_{21}, b_{22}, \cdots, b_{22 n}\right)^{ T }, \cdots,\left(b_{n 1}, b_{n 2}, \cdots\right.$ ， $\left.b_{n, 2 n}\right)^{ T }$ ，

试写出线性方程组
（ II ）$\left\{\begin{array}{lc}b_{11} y_1+b_{12} y_2+\cdots+b_{12 n} y_{2 n} & =0 \\ b_{21} y_1+b_{22} y_2+\cdots+b_{22 n} y_{2 n} & =0 \\ & \vdots \\ b_{n 1} y_1+b_{n 2} y_2+\cdots+b_{n 2 n} y_{2 n} & =0\end{array}\right.$
的通解，并说明理由．

已知任意一个 $n$ 维向量均为齐次线性方程组
（I）$\left\{\begin{array}{rc}a_{11} x_1+a_{12} x_2+\cdots+a_{1 n} x_n & =0 \\ a_{21} x_1+a_{22} x_2+\cdots+a_{2 n} x_n & =0 \\ & \vdots \\ a_{m 1} x_1+a_{m 2} x_2+\cdots+a_{m n} x_n & =0\end{array}\right.$
的解，证明这个方程组的系数全为 0 ．

设 $A \in M_{m, n}, B \in M_{n, s}$ ，证明：
$(A B) x=0$ 与 $B x=0$ 同解 $\Leftrightarrow r(A B)=r(B)$ 。

设线性方程组（ I ）： $\begin{cases}a_{11} x_1+a_{12} x_2+\cdots+a_{1 n} x_n & =0 \\ a_{21} x_1+a_{22} x_2+\cdots+a_{2 n} x_n & =0 \\ & \vdots \\ a_{m 1} x_1+a_{m 2} x_2+\cdots+a_{m n} x_n & =0\end{cases}$ $\beta=\left(b_1, b_2, \cdots, b_n\right)$ 是 $n$ 维行向量，若方程组（I）的解，全是方程（II）$b_1 x_1+$ $b_2 x_2+\cdots+b_n x_n=0$ 的解，证明 $\beta$ 可被 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m$ 线性表出，其中 $\alpha_i= \left(a_{i 1}, a_{i 2}, \cdots, a_{i n}\right)(i=1,2, \cdots, m)$