单选题 （共 4 题 ），每题只有一个选项正确
已知 $\alpha, ~ \beta$ 是空间中两个不重合的平面，$m, ~ n$ 是空间中两条不同的直线，则下列命题中正确的是（ ）
$\text{A.}$ 若 $m / / n, n \subset \alpha$ ，则 $m / / \alpha$
$\text{B.}$ 若 $m \perp n, n \subset \alpha$ ，则 $m \perp \alpha$
$\text{C.}$ 若 $m \subset \alpha, n \subset \beta, m / / n$ ，则 $\alpha / / \beta$
$\text{D.}$ 若 $m \perp \alpha, n \perp \beta, m \perp n$ ，则 $\alpha \perp \beta$
已知直线 $l_1, l_2$ 的斜率分别为 $k_1, k_2$ ，倾斜角分别为 $\alpha_1, \alpha_2$ ，则＂$k_1>k_2$＂是＂$\alpha_1>\alpha_2$＂的
$\text{A.}$ 充分而不必要条件
$\text{B.}$ 必要而不充分条件
$\text{C.}$ 充分必要条件
$\text{D.}$ 既不充分也不必要条件
如图，正方体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 中，$P, ~ Q, ~ R, ~ S, ~ T$ 分别为线段 $A A_1, ~ A B, ~ B C, ~ B D, ~ B B_1$ 的中点，联结 $A_1 S, ~ D_1 T$ ，对空间任意两点 $M, ~ N$ ，若线段 $M N$ 与线段 $A_1 S$ 不相交或与线段 $D_1 T$ 不相交，则称 $M, ~ N$ 两点可视，下列选项中与点 $C_1$ 不可视的为
$\text{A.}$ 点 $A$
$\text{B.}$ 点 $P$
$\text{C.}$ 点 $Q$
$\text{D.}$ 点 $R$
已知抛物线 $C: y^2=2 p x(p>0)$ ，点 $F$ 为抛物线 $C$ 的焦点，点 $A , ~ B$ 在抛物线 $C$ 上（ A 在第一象限），点 $D$ 为点 A 关于原点 $O$ 的对称点，且 $D F \perp A B$ ，若 $\overrightarrow{A F}=\lambda \overrightarrow{F B}(\lambda>1)$ ，（1）点 A 在一条定直线上；（2）$\lambda$ 是定值．则
$\text{A.}$ （1）正确，（2）不正确
$\text{B.}$ （1）不正确，（2）正确
$\text{C.}$ （1）正确，（2）正确
$\text{D.}$ （1）不正确，（2）也不正确
填空题 （共 12 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
椭圆 $\frac{x^2}{2}+y^2=1$ 的右焦点坐标为
若一个圆柱侧面积为 $4 \pi$ ，高为 2 ，则这个圆柱的体积为
已知平面 $\alpha$ 与平面 $\beta$ ，平面 $\gamma$ 都相交，则这三个平面可能的交线有 $\qquad$条
在三棱锥 $P-A B C$ 中，$P A \perp P B, P B \perp P C, P C \perp P A$ ，则点 $P$ 在平面 $A B C$ 上的投影 $O$ 点是 $\triangle A B C$ 的＿心．
如图，在长方体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 中，$A B=A A_1=4, A D=3$ ，点 $E$ 为 $A B$ 上的动点，则 $D_1 E+C E$ 的最小值为 $\qquad$
如图，底面半径为 4 的圆锥，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点 S 滚动，当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了 2 周，则圆锥的表面积为
如图，在四棱台 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 中，底面 $A B C D$ 是菱形，棱 $A A_1 \perp$ 平面 $A B C D$ ， $A A_1=A_1 B_1=1, A B=2, \angle A B C=60^{\circ}$ ，则点 $B$ 到平面 $A C D_1$ 的距离为 $\qquad$ ．
球 $O$ 是棱长为 1 的正方体的外接球，则球 $O$ 的内接正四面体体积为
已知平面向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 满足：$|\vec{a}|=|\vec{b}|=1, \vec{a} \cdot \vec{c}=\vec{b} \cdot \vec{c}=1$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{c}^2$ 的最小值为
已知 $A , B$ 分别是双曲线 $: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 渐近线上的两点，且 $A B \perp x$ 轴，点 $O$ 是坐标原点．现将 $C$ 所在平面沿 $x$ 轴折成平面角为锐角 $\alpha$ 的二面角，翻折后如图，此时 $\angle A O B=\beta$ •若 $\frac{1-\cos \alpha}{1-\cos \beta}=\frac{25}{16}$ ，则 $C$ 的离心率为
如图，棱长为 1 的正方体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 有一个截面 $U V W X Y Z$ ，其中 $U, V, W, X, Y, Z$ 分别在棱 $A B, B C, C C_1, C_1 D_1, D_1 A_1, A A_1$ 上．若 $U V X Y$ 是正方形，则截面 $U V W X Y Z$ 的面积为
解答题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知圆 $M$ 的圆心在 $y$ 轴上，且与直线 $x-y+7=0$ 相切于点 $P(-2,5)$ ．
（1）求圆 $M$ 的方程；
（2）若直线 $l$ 经过点 $Q(2 \sqrt{2}, 1)$ 且与圆 $M$ 相切，求直线 $l$ 的方程．
如图，在四棱锥 $P-A B C D$ 中，$P A \perp$ 平面 $A B C D, E$ 为 $P D$ 的中点，$A D / / B C, \angle B A D=90^{\circ}$ ，
$$
P A=A B=B C=1, A D=2 \text {. }
$$
（1）求证：平面 $P A C \perp$ 平面 $P D C$
（2）求直线 $E C$ 与平面 $P A C$ 所成角的正弦值．
水平通常指的是与水平面平行的状态一个保持水平的宋面能够确保使用的舒适性和稳定性，从而提高工作效率和精度。我们可以使用水平仪检测桌面是否水平，水平仪可以被用于检测某一条直线是否处于水平状态。
（1）请设计一个利用水平仪来检测桌面是否处于水平状态的方案，并借助数学知识来说明其测量原理；
（2）现有一张边长为 1 米的正方形四脚木桌（四条桌腿的长度均为 1 米），被放置在倾斜的地面上．通过测量发现，此时桌面的两条对角线分别呈现出 $3^{\circ}$ 和 $5^{\circ}$ 的倾斜角度。为了将这张桌子平稳地放置在地面上并使宋面保持水平，我们需要通过锯短㝝腿来进行调整，请提供一个最省力的方案。（答案精确到 0.01 米）
如图，在平行六面体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 中，$A B=a, A D=b, A A_1=c, \angle D A B=90^{\circ}, \angle A_1 A D=\angle A_1 A B=60^{\circ}$ ．
点 $M, ~ N$ 是棱 $A B, ~ D_1 C_1$ 的中点，点 $P$ 是对角线 $A C$ 上一点（包括端点），且满足 $\overrightarrow{A P}=\lambda \overrightarrow{A C}$ ．
（1）若 $M, ~ N, ~ P$ 三点共线，求 $\lambda$ 的值；
（2）若对角线 $A_1 C=1$ ，求 $c$ 的最大值；
（3）若 $a=b=c$ ，直线 $A_1 M$ 和 $N P$ 的所成角为 $\theta$ ，求 $\cos \theta$ 的取值范围．
已知椭圆 $\Gamma: \frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{4}=1$ ，点 $A(\sqrt{3}, 2), B(\sqrt{3},-2)$ ，点 $M,N,P$ 是椭圆上的三个动点．
（1）若 $\overrightarrow{O P}=\alpha \overrightarrow{O A}+\beta \overrightarrow{O B}$ ，求 $\alpha^2+\beta^2$ 的值；
（2）已知 $k_{O M} \cdot k_{O N}=k_{O A} \cdot k_{O B}$ ，若 $\overline{O P}=m \overline{O M}+\eta \overline{O N}$ ，求 $m+n$ 的取值范围；
（3）已知 $k_{P M} \cdot k_{P N}=k_{O A} \cdot k_{O B}$ ，请研究 $\triangle P M N$ 面积的最大值．