已知椭圆 $\Gamma: \frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{4}=1$ ，点 $A(\sqrt{3}, 2), B(\sqrt{3},-2)$ ，点 $M,N,P$ 是椭圆上的三个动点．
（1）若 $\overrightarrow{O P}=\alpha \overrightarrow{O A}+\beta \overrightarrow{O B}$ ，求 $\alpha^2+\beta^2$ 的值；
（2）已知 $k_{O M} \cdot k_{O N}=k_{O A} \cdot k_{O B}$ ，若 $\overline{O P}=m \overline{O M}+\eta \overline{O N}$ ，求 $m+n$ 的取值范围；
（3）已知 $k_{P M} \cdot k_{P N}=k_{O A} \cdot k_{O B}$ ，请研究 $\triangle P M N$ 面积的最大值．