如图，在平行六面体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 中，$A B=a, A D=b, A A_1=c, \angle D A B=90^{\circ}, \angle A_1 A D=\angle A_1 A B=60^{\circ}$ ．
点 $M, ~ N$ 是棱 $A B, ~ D_1 C_1$ 的中点，点 $P$ 是对角线 $A C$ 上一点（包括端点），且满足 $\overrightarrow{A P}=\lambda \overrightarrow{A C}$ ．
（1）若 $M, ~ N, ~ P$ 三点共线，求 $\lambda$ 的值；
（2）若对角线 $A_1 C=1$ ，求 $c$ 的最大值；
（3）若 $a=b=c$ ，直线 $A_1 M$ 和 $N P$ 的所成角为 $\theta$ ，求 $\cos \theta$ 的取值范围．