单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
三角形 $A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a 、 b 、 c$,已知 $\cos A=\frac{4}{5}, B=\frac{\pi}{3}, b=5 \sqrt{3}$, 则 $a=(\quad)$
$\text{A.}$ 6
$\text{B.}$ $\sqrt{6}$
$\text{C.}$ 8
$\text{D.}$ $2 \sqrt{2}$
在 $\triangle A B C$ 中, 内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$, 且满足 $(b-c)^2-a^2=-b c$, 若 $a=\sqrt{3}$, 则 $\triangle A B C$ 外接圆的半径长为 ( )
$\text{A.}$ $\sqrt{3}$
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ $\sqrt{2}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{2}$
在 $\triangle A B C$ 中, 内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c, \triangle A B C$ 的面积为 $2 \sqrt{3}, C=60^{\circ}, a^2+b^2=5 a b$, 则 $c=$
$\text{A.}$ $2 \sqrt{2}$
$\text{B.}$ $2 \sqrt{3}$
$\text{C.}$ 4
$\text{D.}$ $4 \sqrt{2}$
瀑布是庐山的一大奇观, 唐代诗人李白曾在《望庐山瀑布中》写道: "日照香炉生紫烟, 遥看瀑布挂前川.飞流直下三千尺，疑是银河落九天，"为了测量某个瀑布的实际高度，某同学设计了如下测量方案：有一段水平山道，且山道与瀑布不在同一平面内，瀑布底端与山道在同一平面内，可粗略认为瀑布与该水平山道所在平面垂直，在水平山道上 $A$ 点位置测得瀑布顶端仰角的正切值为 $\frac{3}{2}$ ，沿山道继续走 $20 m$ ，抵达 $B$ 点位置测得瀑布顶端的仰角为 $\frac{\pi}{3}$. 已知该同学沿山道行进的方向与他第一次望向瀑布底端的方向所成角为 $\frac{\pi}{3}$, 则该瀑布的高度约为
$\text{A.}$ 60 m
$\text{B.}$ 90 m
$\text{C.}$ $108 m$
$\text{D.}$ $120 m$
锦州古塔坐落在大广济寺前，是辽宁省级文物.据明嘉靖碑文（宣大巡抚文贵撰）载：金代的中靖大夫高琏曾写过《塔记》说，塔建于辽道宗清宁三年（1057年），是为收藏皇后所降的舍利子而建.塔是砖实心密檐式，现高57米.塔身八面，每面雕有一佛胁侍，三个宝盖和两位飞天.飞天翱翔于上，大佛端坐龛中，胁待肃立龛旁.下面是古塔的示意图，游客（视为质点）从地面D点看楼顶点A的仰角为30°，沿直线DB前进64米达到E点，此时看点C点的仰角为45°，若2BC=3AC，则该八角观音塔的高AB约为
$\text{A.}$ 63 米
$\text{B.}$ 61 米
$\text{C.}$ 57 米
$\text{D.}$ 54 米
$\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别是 $a, b, c$, 且 $\cos \angle A C B=-\frac{1}{2}$, 边 $A B$ 上的角平分线 $C D$ 的长度为 $t$, 且 $A D=$ $2 B D$, 则 $\frac{c}{t}=$
$\text{A.}$ $\frac{3 \sqrt{7}}{2}$
$\text{B.}$ $\frac{3}{2}$
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ $\frac{3}{2}$ 或 3
已知 $\triangle A B C$ 三个内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$, 若 $a+b=2 c \cos B$, 则 $\frac{b}{a}+\left(\frac{c}{b}\right)^2$ 的最小值为 ( )
$\text{A.}$ $2 \sqrt{2}$
$\text{B.}$ 3
$\text{C.}$ $2 \sqrt{3}$
$\text{D.}$ 4
已知 $\triangle A B C$ 中, 角 $A, B, C$ 对应的边分别为 $a 、 b 、 c, D$ 是 $A B$ 上的三等分点 (靠近点 $A$ ) 且 $C D=1,(a-b) \sin A=$ $(c+b)(\sin C-\sin B)$, 则 $\mathrm{a}+2 \mathrm{~b}$ 的最大值是 $(\quad)$
$\text{A.}$ $2 \sqrt{3}$
$\text{B.}$ $2 \sqrt{2}$
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 4
多选题 （共 4 题 ），每题有多个选项正确
在 $\triangle A B C$ 中, $a, b, c$ 分别为角 $A, B, C$ 的对边, 已知 $\frac{\cos B}{\cos C}=\frac{b}{2 a-c}, S_{\triangle A B C}=\frac{3 \sqrt{3}}{4}$, 且 $b=\sqrt{3}$, 则（）
$\text{A.}$ $\cos B=\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ $\cos B=\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\text{C.}$ $a+c=\sqrt{3}$
$\text{D.}$ $a+c=2 \sqrt{3}$
在 $\triangle A B C$ 中, 角 $A, B, C$ 的边分别为 $a, b, c$, 知 $B=60^{\circ}, b=4$, 则下列判断中正确的是 ( )
$\text{A.}$ 若 $A=\frac{\pi}{4}$, 则 $a=\frac{4 \sqrt{6}}{3}$
$\text{B.}$ 若 $a=\frac{9}{2}$ 该三角形有两解
$\text{C.}$ $\triangle A B C$ 周长的最小值为 12
$\text{D.}$ $\triangle A B C$ 面积的最大值 $4 \sqrt{3}$
在 $\triangle A B C$ 中, 角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$, 以下说法中正确的是 ( )
$\text{A.}$ 若 $A>B$, 则 $\sin A>\sin B, \cos A>\cos B$
$\text{B.}$ 若 $\triangle A B C$ 为锐角三角形, 则 $\sin A>\cos B, \sin B>\cos A$
$\text{C.}$ 若 $\tan A+\tan B+\tan C>0$, 则 $\triangle A B C$ 为锐角三角形
$\text{D.}$ 若: $\sin 2 \frac{A}{2}+\frac{b}{2 c}=\frac{1}{2}$, 则 $\triangle A B C$ 为直角三角形
已知 $\triangle A B C$ 的三个内角 $A, B, C$ 满足 $\sin B+2 \sin A_{\cos } C=0$, 则下列结论正确的是 ( )
$\text{A.}$ $\triangle A B C$ 是钝角三角形
$\text{B.}$ $\sin ^{2023} A+\sin ^{2023} B>\sin ^{2023} C$
$\text{C.}$ 角 $B$ 的最大值为 $\frac{\pi}{6}$
$\text{D.}$ 角 $C$ 的最大值为 $\frac{2}{3} \pi$
填空题 （共 4 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$\triangle A B C$ 中, 内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$. 若 $a=1, B=60^{\circ}, \triangle A B C$ 的面积 $S=\sqrt{3}$, 则 $b=$
已知 $\triangle A B C$ 内有一点 $P$, 满足 $\angle P A B=\angle P B C=30^{\circ}, A B=2, \sin \angle A B C=\frac{3}{5}$, 则 $P B=$
$\triangle A B C$ 中, $\sin (2 A+B)=2 \sin B$, 则 $\tan A+\tan C+\frac{2}{\tan B}$ 的最小值为
在锐角 $\triangle A B C$ 中, 角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$, $b=3, \sin A+a \sin B=2 \sqrt{3}$, 则 $\triangle A B C$ 周长的取值范围为