数学

已知 $f(x)=\frac{\ln \left(1+x^3\right)}{x-|\ln (1+x)|} \cdot \frac{\mathrm{e}^{\frac{1}{x-1}}+\mathrm{e}^{x-1}}{\mathrm{e}^{\frac{1}{x-1}}-\mathrm{e}^{x-1}}$, 则下列说法正确的是

已知二元函数 $F(x, y)=f(x, y) \varphi(x, y)$, 其中 $\varphi(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处连续, 且 $f(0,0)=0$, $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} f_x^{\prime}(x, y)=\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} f_y^{\prime}(x, y)=0$, 则 $F(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处

设 $y=y(x)$ 是微分方程 $y^{\prime \prime}-a y^{\prime}+b y=0$ 的解, 其中常数 $a < 0, b>0$, 且某点 $x=x_0$ 处的函数值 $y\left(x_0\right)$ 及导数值 $y^{\prime}\left(x_0\right)$ 已知, 则 $\lim _{x \rightarrow+\infty} y(x) $.

曲线 $y=\arcsin 2 \sqrt{x-x^2}$ 与 $x$ 轴所围图形绕 $y$ 轴旋转一周所得旋转体的体积为

3 阶行列式 $D$ 的元素为 $a(a>0)$ 或 0 , 则该行列式的最大值为

下列说法中:
(1) 已知非零列向量 $\boldsymbol{\alpha}$ 是齐次线性方程组 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 的解, 其中 $\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶矩阵, 则非齐次线性方程组 $\boldsymbol{A}^* \boldsymbol{x}=\boldsymbol{\alpha}$ 有解的充要条件是 $r(\boldsymbol{A})=n-1$;
(2) 已知 $m \times n$ 矩阵 $\boldsymbol{A}$ 行满秩, $\boldsymbol{B}$ 为 $n \times(n-m)$ 矩阵, 有 $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{O}, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}=\mathbf{0}$ 成立, 则存在唯一的列向量 $\boldsymbol{\gamma}$, 有 $\boldsymbol{B} \boldsymbol{\gamma}=\boldsymbol{\alpha}$ 成立;
(3) 已知齐次线性方程组 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 与 $\boldsymbol{B x}=\mathbf{0}$ 的基础解系分别为 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s$ 与 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_{r-s}$,其中 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 均为 $n$ 阶矩阵, 两个方程组无非零的公共解, 则任一 $n$ 维列向量 $\boldsymbol{\eta}$ 可由 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s$与 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_{n-s}$ 唯一线性表示;
(4) 若齐次线性方程组 $A x=0$ 与 $B x=0$ 同解, 则存在 $n$ 阶矩阵 $C_1, C_2$ 使得 $A=C_1 B, B=C_2 A$.正确的个数为 $(\quad)$.

已知二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=\sum_{i=1}^3\left(x_i-\bar{x}\right)^2$, 其中 $\bar{x}=\frac{x_1+x_2+x_3}{3}$, 则二次型的正惯性指数为

某盲盒中有 3 枚硬币, 已知一枚硬币是正面朝上的, 则至少有一枚硬币是反面朝上的概率为

已知随机变量 $X$ 的分布函数 $F(x)=\left\{\begin{array}{ll}0, & x < 0, \\ 1-\frac{1}{2^{n+1}}, & n \leqslant x < n+1, n=0,1,2, \cdots,\end{array}\right.$ 则方差 $D X=(\quad)$.

已知随机变量 $X \sim N\left(0, \sigma^2\right), X_1, X_2, \cdots, X_n, X_{n+1}$ 为总体 $X$ 的简单随机样本, 记 $\bar{X}=$ $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i, S^2=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}\right)^2$, 下列说法中:
(1) 若 $\sum_{i=1}^n a_i b_i=0$, 则 $\sum_{i=1}^n a_i X_i$ 与 $\sum_{i=1}^n b_i X_i$ 不相关;
(2) $\frac{\left(X_1-X_2\right)^2}{\left(X_1+X_2\right)^2} \sim F(1,1)$;
(3) $\frac{X_{n+1}-\bar{X}}{S} \sqrt{\frac{n}{n+1}} \sim t(n-1)$.

正确的个数为

由方程 $\left(x^2+y^2\right)^2=2\left(x^2-y^2\right)$ 确定的隐函数 $y=y(x)$ 的极大值为

已知微分方程 $y^{\prime}-x \sin 2 y=\frac{\ln x}{\sqrt{\left(1+x^2\right)^3}} \cos ^2 y$, 则不定积分 $\int x \tan y \mathrm{~d} x=$

已知连续正值函数 $f(x)=-\frac{24}{\pi} x \sqrt{x(1-x)}+\int_x^1 f(y) f(y-x) \mathrm{d} y$, 则 $\int_0^1 f(x) \mathrm{d} x=$

将幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n \frac{n}{2^n}(x-4)^{n-1}$ 展开为 $x$ 的幂级数为

已知非齐次方程组 $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{b}$ 的通解为 $\left(\begin{array}{l}2 \\ 3 \\ 1 \\ 4\end{array}\right)+k_1\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 0 \\ 2\end{array}\right)+k_2\left(\begin{array}{c}0 \\ 1 \\ 1 \\ -1\end{array}\right)$ ( $k_1, k_2$ 为任意常数), 其中 $\boldsymbol{A}=$ $\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_4\right)$ 为 4 阶矩阵, 则方程组 $\left(\boldsymbol{\alpha}_4, 2 \boldsymbol{\alpha}_1, 3 \boldsymbol{\alpha}_2, 4 \boldsymbol{\alpha}_3\right) \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 的通解为

已知一维随机变量 $X$ 的概率密度 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}a \mathrm{e}^{-(x-b)}, & x \geqslant b, \\ 0, & x < b,\end{array}\right.$, 其中 $a, b$ 均为常数, 若 $P\{-\ln 3 < X < \ln (3 a)\}=\frac{2}{3}$, 则 $a b=$

求函数 $y(x)=\frac{x \int_0^{\frac{1}{x}}\left(\mathrm{e}^t+\tan t\right)^{\frac{1}{(1+t)} \mathrm{d} t}}{\sin \frac{1}{x}}$ 的斜渐近线方程.

在除原点之外的上半空间 $z \geqslant 0$ 上, 函数 $u(x, y, z)$ 有二阶连续偏导数, 满足
$$
u_x^{\prime}=2 x+y+z+x f(r), u_y^{\prime}=x+y f(r), u_z^{\prime}=x+z+z f(r),
$$

其中 $r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}, u_{x x}^{\prime \prime}+u_{y y}^{\prime \prime}+u_{z z}^{\prime \prime}=0, f(1)=1$.
(1) 求 $f(r)$ 的表达式;
(2) 求 $f(r)$ 在约束条件 $x^2+\frac{y^2}{2}-z^2=1$ 下的最大值与最小值.

已知函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上有一阶连续导数, 且在开区间内一点 $c \in(a, b)(c>0)$ 处与直线 $y=k$ 相切. 证明: $\exists \eta \in(a, b)$ 且 $\eta \neq c$, 使得 $f^{\prime}(\eta)+2 \eta[f(\eta)-f(b)]=0$.

计算二重积分 $\iint_D \frac{r \cos \theta(1+r \sin \theta) \mathrm{e}^{-(\cos \theta+\sin \theta)}}{\cos \theta+\sin \theta} \mathrm{d} \theta \mathrm{d} r$, 其中 $D=\left\{(r, \theta) \mid r>0,0 < \theta < \frac{\pi}{2}\right\}$.

已知二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=\left|\begin{array}{cccc}0 & -x_1 & -x_2 & -x_3 \\ x_1 & a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ x_2 & a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ x_3 & a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{array}\right|$, 实对称矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{array}\right)$.
(1) 求二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 的矩阵;
(2) 已知二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 经正交变换化为标准形 $y_1^2+4 y_2^2+y_3^2$, 其中 $|\boldsymbol{A}|>0$, 矩阵 $\boldsymbol{A}$ 各行元素之和为 $a(a < 1)$, 矩阵 $\boldsymbol{B}$ 满足 $\left[\left(\frac{1}{2} \boldsymbol{A}\right)^*\right]^{-1} \boldsymbol{B A}=6 \boldsymbol{A} \boldsymbol{B}+12 \boldsymbol{E}$, 求可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ 和对角矩阵 $\boldsymbol{\Lambda}$, 使得 $\boldsymbol{P}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{B P}=\boldsymbol{\Lambda}$.

已知 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right), Y=\mathrm{e}^X$.
(1) 求随机变量 $Y$ 的分布函数;
(2) 设 $Y_1, Y_2, \cdots, Y_n$ 是总体 $Y$ 的简单随机样本, 若 $\sigma^2$ 已知, 求参数 $\mu$ 的矩估计量;
(3) 若 $\sigma^2$ 未知, 求参数 $\mu$ 与 $\sigma^2$ 的最大似然估计量.