已知 $f(x)=\frac{\ln \left(1+x^3\right)}{x-|\ln (1+x)|} \cdot \frac{\mathrm{e}^{\frac{1}{x-1}}+\mathrm{e}^{x-1}}{\mathrm{e}^{\frac{1}{x-1}}-\mathrm{e}^{x-1}}$, 则下列说法正确的是
A. $f(x)$ 有一个跳跃间断点,一个可去间断点和一个无穷间断点
B. $F_1(x)=\left\{\begin{array}{ll}f(x), & x \neq 0 \text { 且 } x \neq 1, \\ 1, & x=0 \text { 或 } x=1\end{array}\right.$ 在闭区间 $\left[-\frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right]$ 上有界
C. $F_1(x)=\left\{\begin{array}{ll}f(x), & x \neq 0 \text { 且 } x \neq 1, \\ 1, & x=0 \text { 或 } x=1\end{array}\right.$ 在开区间 $\left(-\frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right)$ 内不可积
D. 记 $F(x)=\int_0^x f(t) \mathrm{d} t$, 则 $F(x)$ 在开区间 $\left(-1, \frac{1}{2}\right)$ 内可导