填空题 （共 10 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $A, B, C$ 为三个事件，用事件的运算 ${ }^{+}$表示事件 $A, B, C$ 至少有一个发生：
设 $X$ 的分布函数为 $F(x)=\left\{\begin{array}{ll}A\left(1-\mathrm{e}^{-x}\right), & x \geqslant 0 \\ 0, & x < 0\end{array}\right.$ ，则常数 $A=$
设 $D(X)=4, D(Y)=9, \rho_{X Y}=0.25$ ，则 $D(5 X-Y+15)=$
设 $X$ 的密度函数为 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\mathrm{e}^{-x}, & x>0 \\ 0, & x \leqslant 0\end{array}\right.$ ，则 $Y=X^2$ 的密度函数为
设 $X, Y$ 为两个随机变量，且 $P(X \geqslant 0, Y \geqslant 0)=\frac{3}{7}$ ， $P(X \geqslant 0)=P(Y \geqslant 0)=\frac{4}{7}$ ，则 $P(\max (X, Y) \geqslant 0)=$
设总体 $X$ 的密度函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}(\theta+1) x^\theta, & 0 < x < 1 \\ 0, & \text { 其它 }\end{array}\right.$ ，其中 $\theta$ 末知且 $\theta>-1$ ， $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为来自总体的一组样本，则 $\theta$ 的矩估计量 $\hat{\theta}=$
设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是取自正态总体 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right)$ 的样本，且 $C \sum_{i=1}^{n-1}\left(X_{i+1}-X_i\right)^2$ 是参数 $\sigma^2$ 的无偏估计量 ，则常数 $C=$
设 $K \sim U(0,5)$ ，则方程 $4 x^2+4 K x+K+2=0$ 有实根的概率为
设 $X \sim \chi^2(2), Y \sim \chi^2(4)$ ，且 $X, Y$ 相互独立，则 $X+Y \sim$
设随机变量 $X \sim \chi^2(n)$ ，则 $D(X)=$
解答题 （共 7 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
某产品主要由三个厂家供货，甲、乙、丙三个厂家的产品分别占总数的 $15 \%$ ， $80 \%$ 和 $5 \%$ ，其次品率分别为 $0.02,0.01$ 和 0.03 。试计算：
（1）从这批产品中任取一件，是不合格品的概率为多大？
（2）已知从这批产品中随机地抽取一件是不合格品，问这件产品是甲厂生产的概率．
设随机变量 $(X, Y)$ 的概率密度为
$$
f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}
k \mathrm{e}^{-(3 x+4 y)}, & x>0, y>0 \\
0, & \text { 其它 }
\end{array},\right.
$$
（1）求常数 $k$ ；
（2）$P(0 < X \leqslant 1,0 < Y \leqslant 2)$ ；
（3）求 $(X, Y)$ 的联合分布函数 $F(x, y)$ ．
设连续型随机变量 $X$ 的分布函数为
$$
F(x)= \begin{cases}0, & x < 1 \\ \ln x, & 1 \leqslant x < \mathrm{e} \\ 1, & x \geqslant \mathrm{e}\end{cases}
$$
求（1）$X$ 的概率密度函数 $f(x)$ ；（2）$P(0 < X < 2.5)$ ；（3）期望 $E(X)$ ．
二维随机变量 $(X, Y)$ 的联合概率分布为：
求：（1）$X$ 的概率分布；（2）相关系数 $\rho_{X Y}$ ；（3）判定 $X, Y$ 是否独立．
设二维随机变量 $(X, Y)$ 服从二维正态分布 $N(1,0,1,1,0)$ ，求：$P(X Y-Y) < 0$ ）．
设总体 $X$ 的密度函数为 $f(x, \theta)=\left\{\begin{array}{ll}(\theta+1) x^\theta, & 0 < x < 1 \\ 0, & \text { 其它 }\end{array}\right.$ ，
其中 $\theta>-1$ 为未知参数．如果取得样本观测值 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ ，求参数 $\theta$ 最大似然估计值。
设随机变量 $X$ 的分布函数 $F(x)$ 连续且严格单调增加，求 $Y=F(X)$ 的概率密度．