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设连续型随机变量 $X$ 的分布函数为

$$
F(x)= \begin{cases}0, & x < 1 \\ \ln x, & 1 \leqslant x < \mathrm{e} \\ 1, & x \geqslant \mathrm{e}\end{cases}
$$


求（1）$X$ 的概率密度函数 $f(x)$ ；（2）$P(0 < X < 2.5)$ ；（3）期望 $E(X)$ ．
                        
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