单选题 （共 12 题 ），每题只有一个选项正确
下列各数是有理数的是
$\text{A.}$ $\pi$
$\text{B.}$ $\sqrt{2}$
$\text{C.}$ $\sqrt[3]{3}$
$\text{D.}$ 0
如图, 小明从 $A$ 入口进入博物馆参观, 参观后可从 $B, C, D$ 三个 出口走出, 他恰好从 $C$ 出口走出的概率是（）
$\text{A.}$ $\frac{1}{4}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{3}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{D.}$ $\frac{2}{3}$
我国天问一号火星探测器于 2021 年 5 月 15 日成功着陆火星表面. 经 测算, 地球跟火星最远距离约 400000000 千米, 其中数据 400000000 科学记数法表示为
$\text{A.}$ $4 \times 10^{9}$
$\text{B.}$ $40 \times 10^{7}$
$\text{C.}$ $4 \times 10^{8}$
$\text{D.}$ $0.4 \times 10^{9}$
如图是某市一天的气温随时间变化的情况，下列说法正确的是
$\text{A.}$ 这一天最低温度是 $-4^{\circ} \mathrm{C}$
$\text{B.}$ 这一天 12 时温度最高
$\text{C.}$ 最高温比最低温高 $8^{\circ} \mathrm{C}$
$\text{D.}$ 0 时至 8 时气温呈下降趋势
下列运算正确的是（）
$\text{A.}$ $a^{2} \cdot a^{3}=a^{5}$
$\text{B.}$ $\left(a^{2}\right)^{3}=a^{5}$
$\text{C.}$ $a^{6} \div a^{2}=a^{3}$
$\text{D.}$ $3 a^{2}-2 a=a^{2}$
平面直角坐标系内与点 $P(3,4)$ 关于原点对称的点的坐标是 ( )
$\text{A.}$ $(-3,4)$
$\text{B.}$ $(-3,-4)$
$\text{C.}$ $(3,-4)$
$\text{D.}$ $(4,3)$
如图, $\odot O$ 的半径 $O B$ 为 $4, O C \perp A B$ 于点 $D, \angle B A C=30^{\circ}$, 则 $O D$ 的长是 ( )
$\text{A.}$ $\sqrt{2}$
$\text{B.}$ $\sqrt{3}$
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
函数 $y=2 x+1$ 的图象不经过
$\text{A.}$ 第一象限
$\text{B.}$ 第二象限
$\text{C.}$ 第三象限
$\text{D.}$ 第四象限
《九章算术》是人类科学史上应用数学的 “算经之首”, 书中记载: 今有三人共车, 二车空;
二人共车, 九人步. 问: 人与车各几何? 译文: 若 3 人坐一辆车, 则两辆车是空的; 若 2 人坐一辆车, 则 9 人需要步行, 问: 人与车各多少? 设有 $x$ 辆车, 人数为 $y$, 根据题意可 列方程组为（）
$\text{A.}$ $\left\{\begin{array}{l}y=3 x-2 \\ y=2 x+9\end{array}\right.$
$\text{B.}$ $\left\{\begin{array}{c}y=3(x-2) \\ y=2 x+9\end{array}\right.$
$\text{C.}$ $\left\{\begin{array}{l}y=3 x-2 \\ y=2 x-9\end{array}\right.$
$\text{D.}$ $\left\{\begin{array}{c}y=3(x-2) \\ y=2 x-9\end{array}\right.$
如图, 矩形纸片 $A B C D, A D: A B=\sqrt{2}: 1$, 点 $E, F$ 分别在 $A D, B C$ 上, 把纸片如图沿 $E F$ 折叠, 点 $A, B$ 的对应点分别为 $A^{\prime}, B^{\prime}$, 连接 $A A^{\prime}$ 并延长交线 段 $C D$ 于点 $G$, 则 $\frac{E F}{A G}$ 的值为（）
$\text{A.}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\text{B.}$ $\frac{2}{3}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{D.}$ $\frac{\sqrt{5}}{3}$
定义一种运算: $a^{*} b=\left\{\begin{array}{ll}a, & a \geq b \\ b, & a < b\end{array}\right.$, 则不等式 $(2 x+1) *(2-x)>3$ 的 解集是
$\text{A.}$ $x>1$ 或 $x < \frac{1}{3}$
$\text{B.}$ $-1 < x < \frac{1}{3}$
$\text{C.}$ $x>1$ 或 $x < -1$
$\text{D.}$ $x>\frac{1}{3}$ 或 $x < -1$
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
要使分式 $\frac{1}{x-2}$ 有意义, 则 $x$ 的取值范围是
如图, 从楼顶 $A$ 处看楼下荷塘 $C$ 处的俯角为 $45^{\circ}$, 看楼下荷塘 $D$ 处的俯角为 $60^{\circ}$, 已知楼高 $A B$ 为 30 米, 则荷塘的宽 $C D$ 为多少米 (结 果保留根号).
为了庆祝中国共产党成立 100 周年, 某校举行 “党在我心中” 演讲比赛, 评委将从演讲内 容, 演讲能力, 演讲效果三个方面给选手打分, 各项成绩均按百分制计, 然后再按演讲内 容占 $50 \%$, 演讲能力占 $40 \%$, 演讲效果占 $10 \%$, 计算选手的综合成绩 (百分制). 小婷的 三项成绩依次是 $84,95,90$, 她的综合成绩是
如图, 从一块边长为 $2, \angle A=120^{\circ}$ 的菱形铁片上剪出一个扇形, 这 个扇形在以 $A$ 为圆心的圆上 (阴影部分), 且圆弧与 $B C, C D$ 分别相切于点 $E, F$, 将剪 下来的扇形围成一个圆雉, 则圆雉的底面圆半径是
如图, 已知点 $A(3,0), B(1,0)$, 两点 $C(-3,9), D(2$,
4) 在抛物线 $y=x^{2}$ 上, 向左或向右平移抛物线后, $C, D$ 的对应点分别为 $C^{\prime}, D^{\prime}$. 当 四边形 $A B C^{\prime} D^{\prime}$ 的周长最小时, 拖物线的解析式为
解答题 （共 8 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
计算: $2^{3} \times\left(-\frac{1}{2}+1\right) \div(1-3)$.
解分式方程: $\frac{x}{x+1}=\frac{x}{3 x+3}+1$.
如图, 四边形 $A B C D$ 中, $A B / / C D, \angle B=\angle D$, 连接 $A C$.
(1) 求证: $\triangle A B C \cong \triangle C D A$;
(2) 尺规作图: 过点 $C$ 作 $A B$ 的垂线, 垂足为 $E$ (不要求写作法, 保留作图痕迹);
(3) 在 (2) 的条件下, 已知四边形 $A B C D$ 的面积为 $20, A B=5$, 求 $C E$ 的长.
某水果公司以 10 元 $/ \mathrm{kg}$ 的成本价新进 2000 箱荔枝, 每箱质量 $5 \mathrm{~kg}$, 在出售荔枝前, 需要去掉损坏的荔枝, 现随机抽取 20 箱, 去掉损坏荔枝后称得每箱的质 量 (单位: $k g$ ) 如下:
$4.74 .84 .64 .54 .84 .94 .84 .74 .84 .7$
$4.84 .94 .74 .84 .54 .74 .74 .94 .75 .0$
整理数据:
分析数据：
(1) 直接写出上述表格中 $a, b, c$ 的值.
(2) 平均数、众数、中位数都能反映这组数据的集中趋势, 请根据以上样本数据分析的 结果, 任意选择其中一个统计量, 估算这 2000 箱荔枝共损坏了多少千克?
（3）根据（2）中的结果, 求该公司销售这批荔枝每千克定为多少元才不亏本（结果保留
一位小数）?
【阅读理解】如图(1), $l_{1} / / l_{2}, \triangle A B C$ 的面积与 $\triangle D B C$ 的面积相等吗? 为什么?
类比探究】如图(2), 在正方形 $A B C D$ 的右侧作等腰 $\triangle C D E, C E=D E, A D=4$, 连接 $A E$,求 $\triangle A D E$ 的面积.
解: 过点 $E$ 作 $E F \perp C D$ 于点 $F$, 连接 $A F$.
请将余下的求解步骤补充完整.
【拓展应用】如图(3), 在正方形 $A B C D$ 的右侧作正方形 $C E F G$, 点 $B, C, E$ 在同一直线 上, $A D=4$, 连接 $B D, B F, D F$, 直接写出 $\triangle B D F$ 的面积.
2022 年北京冬奥会即将召开, 激起了人们对冰雪运动的极大热情. 如图是某跳台滑雪训 练场的横截面示意图, 取某一位置的水平线为 $x$ 轴, 过跳台终点 $A$ 作水平线的垂线为 $y$ 轴, 建立平面直角坐标系, 图中的抛物线 $C_{1}: y=-\frac{1}{12} x^{2}+\frac{7}{6} x+1$ 近似表示滑雪场地上的一 座小山坡, 某运动员从点 $O$ 正上方 4 米处的 $A$ 点滑出, 滑出后沿一段抛物线 $C_{2}: y=$ $-\frac{1}{8} x^{2}+b x+c$ 运动.
(1) 当运动员运动到离 $A$ 处的水平距离为 4 米时, 离水平线的高度为 8 米, 求抛物线 $C_{2}$ 的函数解析式 (不要求写出自变量 $x$ 的取值范围);
(2) 在 (1) 的条件下, 当运动员运动的水平距离为多少米时, 运动员与小山坡的坚直距 离为 1 米?
(3) 当运动员运动到坡顶正上方, 且与坡顶距离超过 3 米时, 求 $b$ 的取值范围.
如图(1), 在 $\triangle A B C$ 中, $A D \perp B C$ 于点 $D, B C=14, A D=8, B D=6$, 点 $E$ 是 $A D$ 上一动点 (不 与点 $A, D$ 重合), 在 $\triangle A D C$ 内作矩形 $E F G H$, 点 $F$ 在 $D C$ 上, 点 $G, H$ 在 $A C$ 上, 设 $D E$ $=x$, 连接 $B E$.
(1) 当矩形 $E F G H$ 是正方形时, 直接写出 $E F$ 的长;
(2) 设 $\triangle A B E$ 的面积为 $S_{1}$, 矩形 $E F G H$ 的面积为 $S_{2}$, 令 $y=\frac{S_{1}}{S_{2}}$, 求 $y$ 关于 $x$ 的函数解析 式（不要求写出自变量 $x$ 的取值范围);
(3) 如图(2), 点 $P(a, b)$ 是 (2) 中得到的函数图象上的任意一点, 过点 $P$ 的直线 $l$ 分 别与 $x$ 轴正半轴, $y$ 轴正半轴交于 $M, N$ 两点, 求 $\triangle O M N$ 面积的最小值, 并说明理由.
如图, 已知 $A D, E F$ 是 $\odot O$ 的直径, $A D=6 \sqrt{2}, \odot O$ 与 $\square O A B C$ 的边 $A B, O C$ 分别交于点 $E, M$, 连接 $C D$ 并延长, 与 $A F$ 的延长线交于点 $G, \angle A F E=\angle O C D$.
(1) 求证: $C D$ 是 $\odot O$ 的切线;
(2) 若 $G F=1$, 求 $\cos \angle A E F$ 的值;
(3) 在 (2) 的条件下, 若 $\angle A B C$ 的平分线 $B H$ 交 $C O$ 于点 $H$, 连接 $A H$ 交 $\odot O$ 于点 $N$, 求 $\frac{A B}{N H}$ 的值.
