高等数学解题指南-函数、极限、连续

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高等数学解题指南-函数、极限、连续

一、单选题（共 8 题），每题只有一个选项正确

1. 设对＂

\forall ε \in (0, 1), \exists 一 个

正整数

N

，当

n ⩾ N

时，恒有

| x_{n} - a | < 2 ε

＂是

lim_{n \to \infty} x_{n} = a

的

A.

充分条件

B.

必要而非充分条件

C.

充分必要条件

D.

既非充分又非必要条件。

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2. 设

f (x) = \int_{0}^{\sin x} (1 - \cos t) d t, g (x) = \tan x - \sin x

，当

x \to 0

时，

f (x)

是

g (x)

的

A.

高阶无穷小

B.

低阶无穷小

C.

等价无穷小

D.

同阶而非等价无穷小

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3. 设

f (x) = \int_{0}^{5 x} \frac{\sin t}{t} d t, g (x) = \int_{0}^{\sin x} (1 + t)^{\frac{1}{t}} d t

，当

x \to 0

时，

f (x)

是

g (x)

的

A.

高阶无穷小

B.

低阶无穷小

C.

等价无穷小

D.

同阶而非等价无穷小

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4. 把

x \to 0^{+}

时的无穷小

α = \int_{0}^{\sin x} \cos t^{2} d t, β = \int_{0}^{x^{2}} \tan \sqrt{t} d t, γ = \int_{0}^{\sqrt{x}} \sin t^{3} d t

进行排列，使后者是前者的高阶无穷小．正确的排列是

A.

α, β, γ

B.

α, γ, β

C.

β, α, γ

D.

β, γ, α

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5. 在下列选择中，当

x \to 0^{+}

时，是

\sqrt{x}

的等价无穷小的是

A.

1 - e^{\sqrt{x}}

B.

\ln \frac{1 + x}{1 - \sqrt{x}}

C.

\sqrt{1 + \sqrt{x}} - 1

D.

1 - \cos \sqrt{x}

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f (x) = {\begin{cases} \frac{2 + e^{\frac{1}{x}}}{1 - e^{\frac{1}{x}}} + \frac{\sin x}{| x |}, & x \neq 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}

，则在点

x = 0

处

f (x) (C)

．

A.

极限存在但不连续

B.

仅左连续

C.

仅右连续

D.

连续

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7. 设

f (x)

在

(- \infty, + \infty)

内有定义．

lim_{x \to \infty} f (x) = a

，令

g (x) = {\begin{matrix} f (\frac{1}{x}), x \neq 0 \\ 0, x = 0 \end{matrix}

，则（D）．

A.

x = 0

必为

g (x)

的连续点

B.

x = 0

必为

g (x)

的第 I 类间断点

C.

x = 0

必为

g (x)

的第 II 类间断点

D.

g (x)

的连续性与

a

有关

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lim_{x \to \infty} {[\frac{x^{2}}{(x - a) (x + b)}]}^{x} = (D)

．

A.

B.

C.

e^{b - a}

D.

e^{a - b}

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二、填空题（共 5 题），请把答案直接填写在答题纸上

9. 设

f (x) = 2 x - \sin x - \sin x \cos x

．当

x \to 0

时，

f (x)

是

x

的

阶无穷小．

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10. 设

f (x) = 1 - \cos (e^{x^{2}} - 1)

是

2^{m} x^{n}

的等价无穷小（当

x \to 0

时），则

m =

，

n =

．

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11. 当

x \to 0

时，

{(1 - a x^{2})}^{\overset{―}{4}} - 1

与

x \sin x

是等价无穷小，则

a =

；

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12. 试确定常数

a, b, c

的值，使得

\ln (1 + x) - \frac{a x}{1 + b x} = c x - x^{2} + o (x^{3})

，其中

o (x^{3})

是当

x \to 0

时比

x^{3}

高阶的无穷小．

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13.

lim_{n \to \infty} {(1 + \frac{1}{n})}^{(- 1)^{n}} =

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三、解答题（共 7 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

14. 设

f (x) = \frac{(x^{2} - 2 x - 3) e^{\frac{1}{x}}}{(x^{2} - 1) \arctan x}

，求

f (x)

的间断点，并判别类型．
（讨论

x \to 0

时如果含有

e^{\frac{1}{x}}, | x | = \sqrt{x^{2}}, \arctan \frac{1}{x}, arccot \frac{1}{x}

，我们一定要分成

x \to 0^{+}, x \to 0^{-}

两种情况）

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15. 已知

lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + 2 x) + x f (x)}{x^{2}} = 1

，则

lim_{x \to 0} \frac{2 + f (x)}{x} =

．

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16. 已知

lim_{x \to 0} \frac{x^{2} + f (x)}{x^{2} \sin^{2} x} = 1

，求

lim_{x \to 0} \frac{\sin^{2} x + f (x)}{x^{2} \sin^{2} x}

．

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17. 求

lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{2^{n} + 4^{n} + \dots + 20^{n}}

．

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18. 求

lim_{x \to + \infty} (\sin \sqrt{x + 1} - \sin \sqrt{x})

．

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19. 下列结论正确的是
（A）

lim_{x \to 0^{+}} {(1 + \frac{1}{x})}^{x} = 1

（B）

lim_{x \to 0^{+}} {(1 + \frac{1}{x})}^{x} = e

（C）

lim_{x \to \infty} {(1 + \frac{1}{x})}^{- x} = - e

（D）

lim_{x \to \infty} {(1 + \frac{1}{x})}^{x} = e^{- 1}

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20. 设

f (x)

在

(0, + \infty)

内可导，

f (x) > 0, lim_{x \to + \infty} f (x) = 1

，且有

lim_{h \to 0} {[\frac{f (x + h x)}{f (x)}]}^{\frac{1}{h}} = e^{\frac{1}{x}}

，求

f (x)

．

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