设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内有定义． $\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=a$ ，令 $g(x)=\left\{\begin{array}{c}f\left(\frac{1}{x}\right), x \neq 0 \\ 0, x=0\end{array}\right.$ ，则（D）．
A. $x=0$ 必为 $g(x)$ 的连续点
B. $x=0$ 必为 $g(x)$ 的第 I 类间断点
C. $x=0$ 必为 $g(x)$ 的第 II 类间断点
D. $g(x)$ 的连续性与 $a$ 有关