第十六届全国大学生数学竞赛初赛《非数学A类》试题及详细参考解答

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第十六届全国大学生数学竞赛初赛《非数学A类》试题及详细参考解答

一、填空题（共 5 题），请把答案直接填写在答题纸上

\int_{0}^{1} \ln (1 + x^{2}) d x =

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2. 设

D : x^{2} + y^{2} \leq r^{2} (r > 0)

，则

lim_{r \to 0^{+}} \frac{\iint_{D} (e^{x^{2} + y^{2}} - 1) d x d y}{r^{4}} =

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3. 已知

z = f (x y, e^{x + y})

，且

f (x, y)

具有二阶连续偏导数，则

\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y} =

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4. 直线

L : \frac{x - 1}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z - 1}{- 1}

在平面

π : x - y + 2 z - 1 = 0

上的投影直线

L_{0}

的单位方向向量为

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5. 设

L

为圆周

x^{2} + y^{2} = 9

，取逆时针方向，则第二型曲线积分

\int_{L} \frac{- y}{4 x^{2} + y^{2}} d x + \frac{x}{4 x^{2} + y^{2}} d y =

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二、解答题（共 5 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

6. 求微分方程

(x^{3} - y^{2}) d x + (x^{2} y + x y) d y = 0

的通解．

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7. 设函数

f (x) = {\begin{cases} \frac{1}{\ln (1 + x)} - \frac{1}{x}, & 0 < x \leq 1, \\ k, & x = 0 . \end{cases}

（1）求常数

k

的值，使得

f (x)

在区间

[0, 1]

上连续；
（2）对（1）中

k

的值，求函数

f (x)

的最小值

λ

与最大值

μ

．

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8. 设

S

是上半球面

x^{2} + y^{2} + z^{2} = R^{2} (z \geq 0)

，方向取上侧，计算

I = \iint_{S} (x^{2} - x) d y d z + (y^{2} - y) d z d x + (z^{2} - z) d x d y .

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9. 设

f (x)

是定义在

(- \infty, + \infty)

上具有连续导数的非负函数，且存在

M > 0

，使得对任意的

x, y \in (- \infty, + \infty)

，有

| f^{'} (x) - f^{'} (y) | \leq M | x - y |

．证明：对于任意实数

x

，恒有

{[f^{'} (x)]}^{2} \leq 2 M f (x)

．

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10. 证明：级数

\sum_{n = 1}^{\infty} \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{[\sqrt{n}]}}{n^{2} + k^{2}}

收敛，其中

[x]

表示不超过

x

的最大整数。

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