解答题 （共 26 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求数列的极限 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{2}+\frac{3}{4}+\frac{5}{3}+\cdots+\frac{2 n-1}{2^n}\right)$.
求数列的极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{5 \times 3^n+3 \times(-2)^n}{3^n}$.
求数列的极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{3 a^n+2(-b)^n}{3 a^{n+1}+2(-b)^{n+1}}$. (其中 $a>b>0$ ).
求 $f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x(1+\sqrt{x})^n+\sqrt{x}+1}{(1+\sqrt{x})^n+1}$ 的表达式, 其中 $x \geq 0$.
求 $f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty}\left[1+\frac{x(1-x)}{2}+\frac{x^2(1-x)^2}{2^2}+\cdots+\frac{x^n(1-x)^n}{2^n}\right]$ 的表达式。
设 $S_n=\sum_{k=1}^n \frac{k}{b_k}$, 其中 $b_k=(k+1)$ !, 求 $\lim _{n \rightarrow \infty} S_n$.
求 $f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x^n}{1+x^n}$ 的表达式.
求 $f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty}\left[x+\frac{x}{1+x^2}+\frac{x}{\left(1+x^2\right)^2}+\cdots+\frac{x}{\left(1+x^2\right)^{n-1}}\right]$ 的表达式
设 $\varphi(x)=x^2-3 x+3, f_n(x)=1+\varphi(x)+\varphi^2(x)+\cdots+\varphi^n(x)$,求 $f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} f_n(x)$.
求 $f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x^{n+2}+x^{-n-1}}{x^n+x^{-n}}$ 的表达式.
求 $f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{1+\left(\ln x^2\right)^{2 n+1}}$ 的表达式设 $f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x^{2 n-1} \sin \frac{\pi}{2} x+\cos (a+b x)}{x^{2 n}+1}$ (其中 $a 、 b$ 为常数, $0 < a < 2 \pi$ ),
设 $f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x^{2 n-1} \sin \frac{\pi}{2} x+\cos (a+b x)}{x^{2 n}+1}$ (其中 $a 、 b$ 为常数, $\left.0 < a < 2 \pi\right)$,
(1)求 $f(x)$ 的表达式;
(2)确定 $a, b$ 之值, 使 $\lim _{x \rightarrow 1} f(x)=f(1), \lim _{x \rightarrow-1} f(x)=f(-1)$.
$f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x^{2 n+1}-x}{x^{2 n}+1}$ 的表达式
求数列的极限 $\lim _{n \rightarrow \infty}(\sin \sqrt{n+1}-\sin \sqrt{n})$
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{2^x-1}{2+2^{\frac{1}{x}}}$.
求极限 $\lim _{x \rightarrow \infty} \arctan x \cdot \arcsin \frac{1}{x}$
求极限 $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{1}{x\left(1+e^x\right)}$
求极限 $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{2 x}{\sqrt{1+x^2}} \arctan \frac{1}{x}$.
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} x \sqrt{1+\sin \frac{1}{x}}$.
求极限 $\lim _{x \rightarrow+\infty}[\cos \ln (1+x)-\cos \ln x]$
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^2 \sin \frac{1}{x}}{|\sin x|}$
求 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1+3 x)^5-(1+2 x)^7}{(2 x-1)^2-1}$ 之值.
求极限 $\lim _{x \rightarrow \infty} x^2\left[\left(\frac{x+1}{x-1}\right)^{\frac{1}{x}}-1\right]$ 之值.
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\left[(1+x \sin x)^x-1\right]}{x^3}$ 之值.
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\left[(\cos x)^{\sin x}-1\right]}{x^3}$ 之值.
已知 $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{(a+b) x+b}{\sqrt{3 x+1}-\sqrt{x+3}}=4$, 试确定 $a, b$ 之值.