解答题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
记 $\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $\sin 2 C=\sqrt{2} \sin C$ ．
（1）求 $C$ ；
（2）若 $\cos A=\frac{\sqrt{10}}{10}, c=5$ ，求 $\triangle A B C$ 的面积．
已知函数 $f(x)=4 \sin x \cdot \cos (x+\varphi)-\sqrt{3} \quad\left(|\varphi| \leq \frac{\pi}{2}\right), f\left(\frac{\pi}{3}\right)=\sqrt{3}$ ．
（1）求 $\varphi$ ；
（2）求 $f(x)$ 的最小正周期和最大值；
（3）讨论 $f(x)$ 在区间 $\left[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right]$ 上的单调性．
已知三次函数 $f(x)=\frac{2}{3} a x^3+\frac{1}{2} b x^2+x, g(x)=f^{\prime}(x)$ ．
（1）若 $f(x)$ 在 $x=1$ 处取得极小值 $\frac{1}{6}$ ，求 $a, b$ ；
（2）若 $b=-1, y=g\left(\mathrm{e}^x\right)$ 的图象与 $x$ 轴有两个不同的交点，求 $a$ 的取值范围．
在 $\triangle A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，向量 $\vec{m}=(b, c), \vec{n}=\left(\sqrt{3}, 2 \sin \left(A-\frac{\pi}{3}\right)\right)$ 且 $\vec{m} \perp \vec{n}$ ，点 $D$ 为 $A B$ 上一点．
（1）求角 $C$ 的大小；
（2）若 $C D$ 是 $\angle A C B$ 的角平分线，$c=9, \triangle A B C$ 的周长为 19 ，求 $C D$ 的长度；
（3）若 $D$ 是 $A B$ 上靠近点 $A$ 的一个三等分点，$|\overrightarrow{C D}|=t|\overrightarrow{A D}|$ ，求实数 $t$ 的取值范围．
已知 $a, b \in \mathbf{R}$ ，函数 $f(x)=\mathrm{e}^{\frac{1}{2} x}-a \sin x-a \cos x, g(x)=b \sqrt{x^2+1}$ ．
（1）证明：当 $a=0$ 时，对于任意 $x>0, f(2 x)>\frac{1}{2} x^2+x+1$ 恒成立；
（2）已知 $x>0$ 时，曲线 $y=f(x)$ 和 $y=g(x)$ 有公共点，
（i）若 $a=0$ ，求 $b$ 的取值范围；
（ii）证明：$a^2+b^2>\frac{1}{2}$ ．