单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
设函数 $f(x)$ 在 $x=a$ 处可导, 则 $\lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x) a^3-f(a) x^3}{a^2-x^2}=$
$\text{A.}$ $3 a^2 f^{\prime}(a)+2 f(a)$
$\text{B.}$ $-\frac{a^2}{3} f^{\prime}(a)+\frac{1}{2} f(a)$
$\text{C.}$ $3 a^2 f^{\prime}(a)-\frac{2}{3} f(a)$
$\text{D.}$ $-\frac{a^2}{2} f^{\prime}(a)+\frac{3 a}{2} f(a)$
设 $f(x)=x^2, 0 \leqslant x < 1$, 而 $S(x)=\sum_{n=1} b_n \sin n \pi x,-\infty < x < +\infty$, 其中 $b_n$ $=2 \int_0^1 f(x) \sin n \pi x \mathrm{~d} x(n=1,2, \cdots)$, 则 $S\left(-\frac{1}{2}\right)$ 等于
$\text{A.}$ $-\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ $-\frac{1}{4}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{4}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{2}$
设 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\left(x^2+y^2\right) \cos \left(\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}\right), & x^2+y^2 \neq 0, \\ 0, & x^2+y^2=0,\end{array}\right.$ 则 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处
$\text{A.}$ $\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}$ 不存在
$\text{B.}$ $\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}$ 连续
$\text{C.}$ 可微
$\text{D.}$ 不连续
设 $n$ 为正整数, 则 $f(x)=\left(1+x+\frac{x^2}{2}+\cdots+\frac{x^n}{n !}\right) \mathrm{e}^{-x}$ 的极值问题是
$\text{A.}$ 有极小值
$\text{B.}$ 有极大值
$\text{C.}$ 既无极小值也无极大值
$\text{D.}$ $f(x)$ 是否有极值依赖于 $n$ 的具体取值
设 $\boldsymbol{M}_1=\left(\begin{array}{rrr}1 & -2 & 3 \\ -2 & 2 & 3 \\ 3 & 3 & 3\end{array}\right), \boldsymbol{M}_2=\left(\begin{array}{rrr}1 & 0 & 0 \\ -2 & 2 & 0 \\ 3 & 3 & 3\end{array}\right), \boldsymbol{M}_3=\left(\begin{array}{rrr}2 & 0 & 0 \\ -2 & 2 & 0 \\ 3 & 3 & 2\end{array}\right)$, $\boldsymbol{M}_4=\left(\begin{array}{rrr}2 & 0 & 0 \\ -3 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 2\end{array}\right)$, 则 $\boldsymbol{M}_1, \boldsymbol{M}_2, \boldsymbol{M}_3, \boldsymbol{M}_4$ 中不能与对角阵相似的是
$\text{A.}$ $\boldsymbol{M}_1$
$\text{B.}$ $\boldsymbol{M}_2$
$\text{C.}$ $\boldsymbol{M}_3$
$\text{D.}$ $\boldsymbol{M}_4$
下列命题正确的个数为 ( ).
①设 $x$ 为 $n$ 维列向量, 且 $x^{\mathrm{T}} \boldsymbol{x}=1$, 若 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{E}-x \boldsymbol{x}^{\mathrm{T}}$, 则 $|\boldsymbol{A}|=0$.
②$A_{n \times m}, B_{m \times n}, E$ 是 $n$ 阶单位矩阵, 若 $A B=E$, 则 $B x=0$ 仅有零解.
③设向量组 I : $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_r$ 可由 II : $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_s$ 线性表示, 则当 $r>s$ 时, I 必线性 相关.
④设 $A, B, C$ 均为 $n$ 阶矩阵, 若 $A B=C$, 且 $B$ 可逆, 则 $C$ 的列向量组与 $A$ 的列向量组等价.
$\text{A.}$ 1个
$\text{B.}$ 2个
$\text{C.}$ 3个
$\text{D.}$ 4个
设 $y=y(x)$ 满足条件
$$
\begin{aligned}
& y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+4 y=0, \\
& y(0)=2, y^{\prime}(0)=0,
\end{aligned}
$$
则 $\int_0^{+\infty} y(x) \mathrm{d} x=$.
$\text{A.}$ 2
$\text{B.}$ -2
$\text{C.}$ 1
$\text{D.}$ -1
设随机变量 $X_1$ 和 $X_2$ 相互独立, 且均服从参数为 $\lambda$ 的指数分布, 则下列随机 变量中服从参数为 $2 \lambda$ 的指数分布的是
$\text{A.}$ $\max \left(X_1, X_2\right)$
$\text{B.}$ $\min \left(X_1, X_2\right)$
$\text{C.}$ $X_1+X_2$
$\text{D.}$ $X_1-X_2$
设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是取自二项总体 $B\left(5, \frac{1}{3}\right)$ 的简单随机样本, $\bar{X}=$ $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$ 是其样本均值, 则
$\text{A.}$ $\operatorname{Cov}\left(X_i, \bar{X}\right)=\frac{5}{3 n}$
$\text{B.}$ $\operatorname{Cov}\left(X_i, \bar{X}\right)=\frac{10}{9 n}$
$\text{C.}$ $D\left(X_i+\bar{X}\right)=\frac{5(n+2)}{3 n}$
$\text{D.}$ $D\left(X_i-\bar{X}\right)=\frac{10(n+2)}{9 n}$
设总体 $X$ 的密度函数为
$$
f(x)= \begin{cases}\sqrt{\theta} x^{\sqrt{\theta}-1}, & 0 \leqslant x \leqslant 1, \\ 0, & \text { 其他, }\end{cases}
$$
$x_1, x_2, \cdots, x_n$ 为总体 $X$ 的一组样本观测值, 则末知参数 $\theta$ 的极大似然估计值 $\hat{\theta}$ 为
$\text{A.}$ $\frac{n}{\left(\sum_{i=1}^n \ln x_i\right)^2}$
$\text{B.}$ $\frac{n^2}{\left(\sum_{i=1}^n \ln x_i\right)^2}$
$\text{C.}$ $\frac{n^2}{\sum_{i=1}^n \ln x_i}$
$\text{D.}$ $\frac{n}{\sum_{i=1}^n \ln x_i}$
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\left(\cos ^2 x+\int_0^x \mathrm{e}^{-t^2} \mathrm{~d} t\right) \sin ^2 x \mathrm{~d} x=$
$y=\left(x^2-5 x+6\right)\left|x^3-3 x^2+2 x\right|$ 的不可导点的个数为 ________ 个
设 $\Omega$ 由 $0 \leqslant z \leqslant 1-\sqrt{x^2+y^2}$ 所确定, 则其形心坐标是
已知 $\frac{(x+a y) \mathrm{d} x+y \mathrm{~d} y}{(x+y)^2}$ 是全微分表达方式, 则 $a=$
$\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{rcc}1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ -1 & a & 4-a\end{array}\right), r(\boldsymbol{A})=2$, 则 $\boldsymbol{A}^* \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的通解为
设 $(X, Y)$ 服从二维正态分布, 其概率密度为
$$
f(x, y)=\frac{1}{2 \pi \times 10} \cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x^2}{10}+\frac{y^2}{10}\right)},-\infty < x < +\infty,-\infty < y < +\infty,
$$
则概率 $P\{X < Y\}=$
解答题 （共 7 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求 $\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{\ln \left(x+\sqrt{1+x^2}\right)}{x}\right)^{\frac{1}{\ln ^2(1+x)}}$.
设曲线 $y=y(x)$ 由参数方程 $x=t \ln t, y=\frac{\ln t}{t}\left(t>\frac{1}{\mathrm{e}}\right)$ 给出, 求:
(I) $y=y(x)$ 的单调区间和极值、凹凸区间和拐点；
(II) 由曲线 $y=y(x)$, 直线 $x=-\frac{1}{\mathrm{e}}, x=\mathrm{e}$ 及 $x$ 轴所围成平面区域的面积.
( I ) 设 $f(x, y, z)$ 是连续函数, 当 $t \rightarrow 0^{+}$时, $I(t)=\iiint_{x^2+y^2+z^2 t^2} f(x, y, z) \mathrm{d} v$ 是 否为无穷小量?如果是, 指出它的阶.
(II) 曲线 $C$ 的方程为 $\left\{\begin{array}{l}x^2+y^2+z^2=1, \\ x^2+y^2=x,\end{array} z>0\right.$, 从上往下看 $C$ 的方向是顺时针的, 求向 量场 $\boldsymbol{A}=y^2 \boldsymbol{i}+z^2 \boldsymbol{j}+x^2 \boldsymbol{k}$ 沿 $C$ 的环量.
设 $f(x)=\frac{2}{(2+x)(1-2 x)}$, 求 $f^{(n)}(x)$, 并证明 $\sum_{n=1} \frac{n !}{f^{(n)}(0)}$ 收敛
设 3 维向量空间有两个基 $e_1, e_2, e_3$ 和 $e_1^{\prime}, e_2^{\prime}, e_3^{\prime}$, 它们满足
$$
\left\{\begin{array}{l}
\boldsymbol{e}_1^{\prime}=e_1-\boldsymbol{e}_2, \\
e_2^{\prime}=2 e_1+3 \boldsymbol{e}_2+2 \boldsymbol{e}_3, \\
\boldsymbol{e}_3^{\prime}=e_1+3 e_2+2 \boldsymbol{e}_3 .
\end{array}\right.
$$
如果向量 $\boldsymbol{b}=2 \boldsymbol{e}_1-\boldsymbol{e}_2+3 \boldsymbol{e}_3$ 在基 $\boldsymbol{e}_1^{\prime}, \boldsymbol{e}_2^{\prime}, \boldsymbol{e}_3^{\prime}$ 下的坐标 $x_1, x_2, x_3$ 组成的 3 维向量 $\boldsymbol{\xi}=\left(x_1\right.$, $\left.x_2, x_3\right)^{\mathrm{T}}$ 是 3 阶矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{rrr}2 & 0 & 0 \\ -2 & a & 0 \\ 0 & b & 2\end{array}\right)$ 的一个特征向量.
(1) 求常数 $a, b$.
(2) 问 $A$ 能否与对角阵相似? 如果能, 求使得 $P{ }^1 A P=\Lambda$ 的可逆矩阵 $P$ 和对角阵 $\Lambda$; 如果不能, 说明理由.
（请从本题和下一题选择一题）设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立, $X \sim N(0,1), Y$ 以 0.5 的概率取值 $\pm 1 $, 令 $Z=X Y$,证明
( I ) $Z \sim N(0,1)$;
( II ) $X$ 与 $Z$ 既不相关也不独立.
(请从本题和上一题选择一题）已知三元二次型 $x^{\mathrm{T}} A \boldsymbol{x}$ 经正交变换为 $2 y_1^2-y_2^2-y_3^2$, 又知 $\boldsymbol{B}$ 满足矩阵方程 $\left[\left(\frac{1}{2} \boldsymbol{A}\right)^*\right]^{-1} \boldsymbol{B} \boldsymbol{A}^{-1}=2 \boldsymbol{A} \boldsymbol{B}+4 \boldsymbol{E}$, 且 $\boldsymbol{A}^* \boldsymbol{\alpha}=\boldsymbol{\alpha}$, 其中 $\boldsymbol{\alpha}=(1,1,-1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{A}^*$ 为 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩 阵,求二次型 $x^{\mathrm{T}} B \boldsymbol{x}$ 的表达式.