单选题 （共 6 题 ），每题只有一个选项正确
记行列 $\left|\begin{array}{cccc}x-2 & x-1 & x-2 & x-3 \\ 2 x-2 & 2 x-1 & 2 x-2 & 2 x-3 \\ 3 x-3 & 3 x-2 & 4 x-5 & 3 x-5 \\ 4 x & 4 x-3 & 5 x-7 & 4 x-3\end{array}\right|$ 为 $f(x)$ ，则方程 $f(x)=0$ 的根的个数为
$\text{A.}$ 1 ．
$\text{B.}$ 2 ．
$\text{C.}$ 3 ．
$\text{D.}$ 4 ．
设 $\boldsymbol{A}$ 是 $m \times n$ 矩阵， $\boldsymbol{B}$ 是 $n \times m$ 矩阵，则
$\text{A.}$ 当 $m>n$ 时，必有行列式 $|\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}| \neq 0$ ．
$\text{B.}$ 当 $m>n$ 时，必有行列式 $|\boldsymbol{A B}|=0$ ．
$\text{C.}$ 当 $n>m$ 时，必有行列式 $|\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}| \neq 0$ ．
$\text{D.}$ 当 $n>m$ 时，必有行列式 $|\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}|=0$ ．
设 $\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶方阵且 $|\boldsymbol{A}|=0$ ，则
$\text{A.}$ $\boldsymbol{A}$ 中必有两行（列）的元素对应成比例．
$\text{B.}$ $\boldsymbol{A}$ 中任意一行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合．
$\text{C.}$ $\boldsymbol{A}$ 中必有一行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合．
$\text{D.}$ $\boldsymbol{A}$ 中至少有一行（列）的元素全为 0 ．
设 $\boldsymbol{A}$ 是三阶方阵，将 $\boldsymbol{A}$ 的第 1 列与第 2 列交换得 $\boldsymbol{B}$ ，再把 $\boldsymbol{B}$ 的第 2 列加到第 3 列得 $\boldsymbol{C}$ ，则满足 $A Q=C$ 的可逆矩阵 $Q$ 为
$\text{A.}$ $\left[\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1\end{array}\right]$ ．
$\text{B.}$ $\left[\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]$ ．
$\text{C.}$ $\left[\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1\end{array}\right]$ ．
$\text{D.}$ $\left[\begin{array}{lll}0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]$ ．
设 $n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 等价，则必有
$\text{A.}$ 当 $|\boldsymbol{A}|=a(a \neq 0)$ 时，$|\boldsymbol{B}|=a$ ．
$\text{B.}$ 当 $|\boldsymbol{A}|=a(a \neq 0)$ 时，$|\boldsymbol{B}|=-a$ ．
$\text{C.}$ 当 $|\boldsymbol{A}| \neq 0$ 时，$|\boldsymbol{B}|=0$ ．
$\text{D.}$ 当 $|\boldsymbol{A}|=0$ 时，$|\boldsymbol{B}|=0$ ．
设 $\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶非零矩阵， $\boldsymbol{E}$ 为 $n$ 阶单位矩阵．若 $\boldsymbol{A}^3=\boldsymbol{O}$ ，则
$\text{A.}$ $\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}$ 不可逆， $\boldsymbol{E}+\boldsymbol{A}$ 不可逆．
$\text{B.}$ $\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}$ 不可逆， $\boldsymbol{E}+\boldsymbol{A}$ 可逆．
$\text{C.}$ $\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}$ 可逆， $\boldsymbol{E}+\boldsymbol{A}$ 可逆．
$\text{D.}$ $\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}$ 可逆， $\boldsymbol{E}+\boldsymbol{A}$ 不可逆．
填空题 （共 14 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$$ \left|\begin{array}{llll}
1 & 1 & 1 & 0 \\
1 & 1 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 1 & 1
\end{array}\right|=
$$
设行列式 $D=\left|\begin{array}{cccc}3 & 0 & 4 & 0 \\ 2 & 2 & 2 & 2 \\ 0 & -7 & 0 & 0 \\ 5 & 3 & -2 & 2\end{array}\right|$ ，则第 4 行各元素余子式之和的值为
设 $4 \times 4$ 矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\gamma}_2, \boldsymbol{\gamma}_3, \boldsymbol{\gamma}_4\right], \boldsymbol{B}=\left[\boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\gamma}_2, \boldsymbol{\gamma}_3, \boldsymbol{\gamma}_4\right]$ ，其中 $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\gamma}_2, \boldsymbol{\gamma}_3, \boldsymbol{\gamma}_4$ 均为四维列向量，且已知行列式 $|\boldsymbol{A}|=4,|\boldsymbol{B}|=1$ ，则行列式 $|\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}|=$
设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]$ ，矩阵 $\boldsymbol{B}$ 满足 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}^*=2 \boldsymbol{B} \boldsymbol{A}^*+\boldsymbol{E}$ ，其中 $\boldsymbol{A}^*$ 为 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵， $\boldsymbol{E}$ 是单位矩阵，则 $|\boldsymbol{B}|=$
设 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 均为三维列向量，记矩阵
$$
\boldsymbol{A}=\left[\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3\right], \boldsymbol{B}=\left[\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_1+2 \boldsymbol{\alpha}_2+4 \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_1+3 \boldsymbol{\alpha}_2+9 \boldsymbol{\alpha}_3\right]
$$
如果 $|\boldsymbol{A}|=1$ ，那么 $|\boldsymbol{B}|=$
设 $\boldsymbol{A}$ 是三阶方阵， $\boldsymbol{A}^*$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵， $\boldsymbol{A}$ 的行列式 $|\boldsymbol{A}|=\frac{1}{2}$ ，求行列式 $\mid(3 \boldsymbol{A})^{-1}- 2 A^* \mid$ 的值．
设 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & -2 \\ 4 & t & 3 \\ 3 & -1 & 1\end{array}\right], \boldsymbol{B}$ 为三阶非零矩阵，且 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}=\boldsymbol{O}$ ，则 $t=$
设 $\boldsymbol{\alpha}$ 为三维列向量， $\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}$ 是 $\boldsymbol{\alpha}$ 的转置，若 $\boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}=\left[\begin{array}{ccc}1 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 1\end{array}\right]$ ，则 $\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\alpha}=$
设 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 1\end{array}\right]$ ，而 $n \geqslant 2$ 为正整数，则 $\boldsymbol{A}^n-2 \boldsymbol{A}^{n-1}=$
设 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{cccc}a_1 b_1 & a_1 b_2 & \cdots & a_1 b_n \\ a_2 b_1 & a_2 b_2 & \cdots & a_2 b_n \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_n b_1 & a_n b_2 & \cdots & a_n b_n\end{array}\right]$ ，其中 $a_i \neq 0, b_i \neq 0(i=1,2, \cdots, n)$ ，则矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的秩 $r(\boldsymbol{A})=$
设 $\boldsymbol{A}$ 是 $4 \times 3$ 矩阵，且 $\boldsymbol{A}$ 的秩 $r(\boldsymbol{A})=2$ ，而 $\boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 3\end{array}\right]$ ，则 $r(\boldsymbol{A} \boldsymbol{B})=$
设四阶方阵 $\boldsymbol{A}$ 的秩为 2 ，则其伴随矩阵 $\boldsymbol{A}^*$ 的秩为
设矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 满足关系式 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}=\boldsymbol{A}+2 \boldsymbol{B}$ ，其中 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 4\end{array}\right]$ ，求矩阵 $\boldsymbol{B}$ ．
设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & -1 \\ -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1\end{array}\right]$ ，矩阵 $\boldsymbol{X}$ 满足 $\boldsymbol{A}^* \boldsymbol{X}=\boldsymbol{A}^{-1}+2 \boldsymbol{X}$ ，其中 $\boldsymbol{A}^*$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵，求矩阵 $\boldsymbol{X}$ 。
解答题 （共 4 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{cccc}1 & -1 & -1 & 3 \\ 2 & -1 & -3 & 1 \\ 3 & 2 & -5 & 2\end{array}\right]$ ，化其为行最简矩阵 $\boldsymbol{F}$ ，并求一个可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ ，使 $\boldsymbol{P} \boldsymbol{A}=\boldsymbol{F}$
已知 $\boldsymbol{\alpha}=(1,2,3), \boldsymbol{\beta}=\left(1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}\right)$ ，设 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\beta}$ ，其中 $\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}$ 是 $\boldsymbol{\alpha}$ 的转置，则 $\boldsymbol{A}^n=$
设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}3 & 0 & 0 \\ 1 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 3\end{array}\right], \boldsymbol{E}=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]$ ，则逆矩阵 $(\boldsymbol{A}-2 \boldsymbol{E})^{-1}=$
设矩阵 $\boldsymbol{A}$ 满足 $\boldsymbol{A}^2+\boldsymbol{A}-4 \boldsymbol{E}=\boldsymbol{O}$ ，其中 $\boldsymbol{E}$ 为单位矩阵，则 $(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E})^{-1}=$