填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $z=\sqrt{y}+f(\sqrt{x}-1)$, 当 $y=1$ 时， $z=x$ ，则 $f(x)=$
$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\cos \frac{1}{n}\right)^{n^2}=$
设 $h>1$, 则点 $(0, h)$ 到曲线 $y=x^2$ 的最短距离为
函数 $f(x)=x^2 \cdot 2^x$ 在 $x=0$ 处的 $n$ 阶导数 $f^{(n)}(0)=$
双纽线 $\rho^2=a^2 \cos 2 \theta(a>0)$ 绕极轴旋转所得图形的侧面积为 .
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设函数 $f(x)$ 对于任意的 $x$ 及 $a$ 满足
$$
\frac{1}{2 a} \int_{x-a}^{x+a} f(t) d t=f(x) \quad(a \neq 0),
$$
证明: $f(x)$ 是线性函数.
设 $f(x)$ 是 $(-\infty,+\infty)$ 上的连续非负函数，
$$
f(x) \cdot \int_0^x f(x-t) d t=\sin ^4 x
$$
求 $f(x)$ 在区间 $[0, \pi]$ 上的平均值
设 $z=z(x, y)$ 是由
$$
x^2-6 x y+10 y^2-2 y z-z^2+18=0
$$
确定的函数，求 $z=z(x, y)$ 的极值点和极值.
计算二重积分 $\iint_D y d x d y$ ，其中 $D$ 是由直线 $x=-2, y=0, y=2$ 以及曲线 $x=-\sqrt{2 y-y^2}$ 所围成的平面区域。
已知 $a_1=1, a_2=1, a_{n+1}=a_n+a_{n-1}(n=$ $2,3, \cdots)$ ，试求级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n x^n$ 的收敛半径与和函数.
设 $f(x)$ 是 $[0,1]$ 上的连续可微函数，且当 $x \in(0,1)$时， $0 < f^{\prime}(x) < 1 ， f(0)=0$ ，证明：
$$
\int_0^1 f^2(x) d x>\left[\int_0^1 f(x) d x\right]^2>\int_0^1 f^3(x) d
$$