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设 $f(x)$ 是 $[0,1]$ 上的连续可微函数，且当 $x \in(0,1)$时， $0 < f^{\prime}(x) < 1 ， f(0)=0$ ，证明：

$$
\int_0^1 f^2(x) d x>\left[\int_0^1 f(x) d x\right]^2>\int_0^1 f^3(x) d
$$
                        
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