【38850】 【 动力学和能量观点解决力学综合问题】 解答题 某电视台＂快乐向前冲＂节目中的场地设施如图所示，$A B$ 为水平直轨道，上面安装有电动悬挂器，可以载人运动，水面上漂浮着一个半径为 $R$ ，角速度为 $\omega$ ，铺有海绵垫的转盘，转盘的轴心离平台的水平距离为 $L$ ，平台边缘与转盘平面的高度差为 $H$ ．选手抓住悬挂器，可以在电动机带动下，从 $A$ 点下方的平台边缘处沿水平方向做初速度为零、加速度为 $a$ 的匀加速直线运动．选手必须作好判断，在合适的位置释放，才能顺利落在转盘上．设人的质量为 $m$（不计身高大小），人与转盘间的最大静摩擦力为 $\mu m g$ ，重力加速度为 $g$ ． （1）假设选手落到转盘上瞬间相对转盘速度立即变为零，为保证他落在任何位置都不会被甩下转盘，转盘的角速度 $\omega$ 应限制在什么范围？ （2）若已知 $H=5 \mathrm{~m}, L=8 \mathrm{~m}, a=2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^2, g=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^2$ ，且选手从某处 $C$ 点释放能恰好落到转盘的圆心上，则他是从平台出发后多长时间释放悬挂器的？ （3）若电动悬挂器开动后，针对不同选手的动力与该选手重力关系皆为 $F=0.6 \mathrm{mg}$ ，悬挂器在轨道上运动时存在恒定的摩擦阻力，选手在运动到（2）中所述位置 $C$ 点时，因恐惧没有释放悬挂器，但立即关闭了它的电动机，则按照（2）中数据计算，悬挂器载着选手还能继续向右滑行多远？ [img=/uploads/2026-04/7946ca.jpg][/img]

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【38849】 【 动力学和能量观点解决力学综合问题】 解答题 如图所示，滑块质量为 $m$ ，与水平地面间的动摩擦因数为 0.1 ，它以 $v_0 =3 \sqrt{g R}$ 的初速度由 $A$ 点开始向 $B$ 点滑行，$A B=5 R$ ，并滑上光滑的半径为 $R$ 的 $\frac{1}{4}$ 圆弧 $B C$ ，在 $C$ 点正上方有一离 $C$ 点高度也为 $R$ 的旋转平台，沿平台直径方向开有两个离轴心距离相等的小孔 $P 、 Q, P 、 Q$ 位于同一直径上，旋转时两孔均能达到 $C$ 点的正上方．若滑块滑过 $C$ 点后穿过 $P$ 孔，又恰能从 $Q$ 孔落下，则平台转动的角速度 $\omega$ 应满足什么条件？ [img=/uploads/2026-04/10b8fb.jpg][/img]

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【38848】 【 动力学和能量观点解决力学综合问题】 解答题 一半径 $R=1 \mathrm{~m}$ 的 $\frac{1}{4}$ 圆弧导轨与水平导轨相连，从圆弧导轨顶端 $A$ 静止释放一个质量 $m=0.02 \mathrm{~kg}$ 的木块，测得其滑至底端 $B$ 的速度 $v_B=3 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ ，以后又沿水平导轨滑行 $B C =3 \mathrm{~m}$ 而停止在 $C$ 点，如图所示，求： （1）木块克服圆弧导轨摩擦力所做的功； （2）木块在 $B$ 点对圆弧轨道的压力； （3）$B C$ 段导轨的动摩擦因数．（取 $g=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^2$ ） [img=/uploads/2026-04/0e5d16.jpg][/img]

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【38847】 【 动力学和能量观点解决力学综合问题】 解答题 如图所示，半径 $R=1.0 \mathrm{~m}$ 的光滑圆弧轨道固定在坚直平面内，轨道的一个端点 $B$和圆心 $O$ 的连线与水平方向间的夹角 $\theta=37^{\circ}$ ，另一端点 $C$ 为轨道的最低点．$C$ 点右侧的光滑水平面上紧挨 $C$ 点静止放置一木板，木板质量 $M=1 \mathrm{~kg}$ ，上表面与 $C$ 点等高。质量为 $m=1 \mathrm{~kg}$ 的物块（可视为质点）从空中 $A$ 点以 $v_0=1.2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ 的速度水平抛出，恰好从轨道的 $B$ 端沿切线方向进入轨道．已知物块与木板间的动摩擦因数 $\mu=0.2$ ，取 $g=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^2$ ．求： （1）物块经过 $C$ 点时的速度 $v_C$ ； （2）若木板足够长，物块在木板上相对滑动过程中产生的热量 $Q$ ． [img=/uploads/2026-04/fc746b.jpg][/img]

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【38846】 【 动力学和能量观点解决力学综合问题】 解答题 如图甲所示，一个物体放在足够大的水平地面上，若用水平变力拉动，其加速度随力变化的图象如图乙所示．现从静止开始计时，改用图丙中周期性变化的水平力 $F$ 作用 （ $g$ 取 $10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^2$ ）．求： （1）物体的质量及物体与地面间的动摩擦因数； （2）求周期力作用下物体在一个周期内的位移大小． [img=/uploads/2026-04/c73399.jpg][/img]

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【38845】 【 动力学和能量观点解决力学综合问题】 解答题 如图所示，质量 $M=0.4 \mathrm{~kg}$ 的长薄板 $B C$ 静置于倾角为 $37^{\circ}$ 的光滑斜面上，在 $A$ 点有质量 $m=0.1 \mathrm{~kg}$ 的小物体（可视为质点）以 $v_0=4.0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ 速度水平抛出，恰以平行斜面的速度落在薄板的最上端 $B$ 并在薄板上运动，当小物体落在薄板上时，薄板无初速度释放开始沿斜面向下运动，运动到薄板的最下端 $C$ 时，与薄板速度恰好相等，已知小物体与薄板之间的动摩擦因数为 $0.5, \sin 37^{\circ}=0.6, \cos 37^{\circ}=0.8, g=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^2$ ，求： （1）$A$ 点与 $B$ 点的水平距离； （2）薄板 $B C$ 的长度． [img=/uploads/2026-04/b14b53.jpg][/img]

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【38844】 【 上海交大《高等数学》第二学期期中考试7】 证明题 设常数 $R>0, f(x, y)$ 在区域 $D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leqslant R^2\right\}$ 上具有连续的二阶偏导数，且 $f(0,0)=0, \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=0, \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} \neq 0$ ．证明：对任意 $0< r \leqslant R$ ，圆周 $C_r=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2=r^2\right\}$ 上必存在点 $\left(x_0, y_0\right)$ ，使得 $f\left(x_0\right.$ ， $\left.y_0\right)=0$.

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【38843】 【 上海交大《高等数学》第二学期期中考试7】 解答题 计算三重积分： $\iiint_{\Omega} \sqrt{x^2+y^2+z^2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\Omega=$ $$ \left\{(x, y, z) \left\lvert\, \frac{\sqrt{2}}{2} \leqslant z \leqslant \sqrt{1-x^2-y^2}\right.\right\} . $$

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【38842】 【 上海交大《高等数学》第二学期期中考试7】 解答题 计算： $\int_{-1}^1 \mathrm{~d} x \int_{-2 \sqrt{1-x^2}}^{2 \sqrt{1-x^2}} \mathrm{~d} y \int_{x^2+\frac{1}{4} y^2}^1 \mathrm{e}^{z^2} \mathrm{~d} z$

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【38841】 【 上海交大《高等数学》第二学期期中考试7】 解答题 计算二重积分： $\iint_D(x+2 y)^2 \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} \leqslant 1$

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