【38840】 【 上海交大《高等数学》第二学期期中考试7】 解答题 求函数 $z=\mathrm{e}^{x+y}\left(y+\frac{x^3}{3}\right)$ 的极大值和极小值．

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【38839】 【 上海交大《高等数学》第二学期期中考试7】 解答题 $z=f(x, y)$ 满足偏微分方程 $3 \frac{\partial z}{\partial x}-2 \frac{\partial z}{\partial y}=0$ ， （1）在变量替换 $\left\{\begin{array}{l}u=2 x+3 y \\ v=x-y\end{array}\right.$ 下，将上述偏微分方程变形为 $z$ 关于 $u, v$ 的方程； （2）证明：$z=f(x, y)$ 可以表示为 $z=g(2 x+3 y)$

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【38838】 【 上海交大《高等数学》第二学期期中考试7】 解答题 设曲面 $S$ 由方程 $F(x, y, z)=0$ 确定，且 $F_x^2+F_y^2+F_z^2 \neq 0$ ．证明：$S$ 上离坐标原点最近点处的法线过坐标原点．

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【38837】 【 上海交大《高等数学》第二学期期中考试7】 解答题 设函数 $u(x, y)$ 具有连续的二阶偏导数，$v(x)$ 二阶可导，$z=u(x+y$ ， $x y)+v(2 x+3 y)$ ，求 $z_{x y}$

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【38836】 【 上海交大《高等数学》第二学期期中考试7】 填空题 极限 $\lim _{R \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{R^3} \iiint_{x^2+y^2+z^2 \leqslant R^2} \cos \sqrt{x^2+y^2+z^2} \mathrm{~d} V=$

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【38835】 【 上海交大《高等数学》第二学期期中考试7】 填空题 交换积分次序： $\int_0^1 \mathrm{~d} y \int_0^{\sqrt{2 y-y^2}} f(x, y) \mathrm{d} x=$

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【38834】 【 上海交大《高等数学》第二学期期中考试7】 填空题 极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \frac{(i+j)^3}{n^5}=$

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【38833】 【 上海交大《高等数学》第二学期期中考试7】 填空题 设函数 $z=z(x, y)$ 由方程 $x-y+z-2 \mathrm{e}^{x y z}=0$ 所确定，则 $\left.\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{(0,1)}=$

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【38832】 【 上海交大《高等数学》第二学期期中考试7】 填空题 设 $z=x^2 \ln (x y)$ ，则 $\frac{\partial^3 z}{\partial x^2 \partial y}=$

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【38831】 【 上海交大《高等数学》第二学期期中考试7】 单选题 设 $\Omega=\{(x, y, z) \mid-1 \leqslant x \leqslant 1,-1 \leqslant y \leqslant 1,0 \leqslant z \leqslant 1\}$ ，常数 $a>0$ ，则三重积分 $\iiint_{\Omega} \mathrm{e}^{a x y z} \sin (x y z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ 的值

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