【32218】 【 上海交通大学《高等数学A》第一学期期末考试试题与解答】 单选题 设有直线 $l_1: \frac{x-1}{1}=\frac{y+5}{2}=\frac{z+2}{1}$ 与 $l_2:\left\{\begin{array}{l}x+y+3 z=2 \\ y+z=3\end{array}\right.$ ，则 $l_1$ 与 $l_2$的夹角为

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【32217】 【 上海交通大学《高等数学A》第一学期期中考试试题与解答】 解答题 已知非负函数 $y=f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上可导，且 $f(2 x) \leq f(x)+1$ 。证明： （1）存在常数 $M$ ，使得当 $x>1$ 时， $0 \leq f(x) \leq M+\log _2 x$ ； （2）若 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)=A$ ，则 $A=0$ 。

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【32216】 【 上海交通大学《高等数学A》第一学期期中考试试题与解答】 解答题 分析函数 $y=\frac{x^2}{1+2 x}$ 的性态，并作出其简图。 $$ \left(y^{\prime}=\frac{2 x^2+2 x}{(1+2 x)^2}, y^{\prime \prime}=\frac{2}{(1+2 x)^3}\right) $$

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【32215】 【 上海交通大学《高等数学A》第一学期期中考试试题与解答】 解答题 已知 $y=f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 可导，且 $\left|f^{\prime}(x)\right| \leq L<1$（ $L$ 是常数），$x_0$ 满足 $f\left(x_0\right)=x_0$ 。 对任意取定的 $x_1$ ，定义 $x_{n+1}=f\left(x_n\right), n=1,2, \cdots$ 。 （1）证明： $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=x_0$ ； （2）当 $f(x)=\frac{1}{\sqrt{2}} \arctan \frac{x}{\sqrt{2}}-\frac{1}{2} \ln \left(1+\frac{x^2}{2}\right)$ 时，求 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ 。

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【32214】 【 上海交通大学《高等数学A》第一学期期中考试试题与解答】 解答题 设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^{3 x}, & x>0 \\ x+1, & x \leq 0\end{array}\right.$ ，求 $f^{\prime \prime}(x)$ 。

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【32213】 【 上海交通大学《高等数学A》第一学期期中考试试题与解答】 解答题 设 $y=y(x)$ 由方程 $e^y \sin x-y+1=0$ 确定，求 $y^{\prime \prime}(0)$ 。

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【32212】 【 上海交通大学《高等数学A》第一学期期中考试试题与解答】 解答题 $\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{\cos x}{\cos 2 x}\right)^{\frac{1}{x^2}}$ 。

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【32211】 【 上海交通大学《高等数学A》第一学期期中考试试题与解答】 解答题 计算极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^x+\ln (1-x)-1}{x-\arctan x}$

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【32210】 【 上海交通大学《高等数学A》第一学期期中考试试题与解答】 证明题 用极限定义证明： $\lim _{x \rightarrow 2} \frac{1}{x-1}=1$ 。

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【32209】 【 上海交通大学《高等数学A》第一学期期中考试试题与解答】 填空题 函数 $f(x)=x^3(x-4)$ 单调减少且上凸的区间是

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