【40351】 【 同济大学辅导教材无穷级数的基本概念和性质】 解答题 利用级数收敛与发散的定义判定下列级数的收敛性，若收敛求出级数的和： （1）$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$ ． （2）$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2 n-1)(2 n+1)}$ ．

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【40350】 【 函数展开为幂级数】 解答题 利用 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{12}$ ，计算 $\int_0^1 \frac{\ln (1+x)}{x} \mathrm{~d} x$ ．

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【40349】 【 函数展开为幂级数】 解答题 将函数 $f(x)$ 展开成 $x-x_0$ 的幂级数，并求出展开式成立的区间： $f(x)=\frac{1}{x^2+3 x+2}, x_0=-4$ ．

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【40348】 【 函数展开为幂级数】 解答题 将下列函数展开成 $x$ 的幂级数，并求出展开式成立的区间： （1）$f(x)=\sin ^2 x$ ． （2）$f(x)=\arctan \frac{3 x-3}{9+x}$ ．

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【40347】 【 函数展开为幂级数】 解答题 求级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(2 n+1) 2^n}$ 的和 $s$ ．

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【40346】 【 函数展开为幂级数】 解答题 求级数 $\sum_{n=1}^{\infty} n(x+1)^n$ 的和函数．

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【40345】 【 函数展开为幂级数】 解答题 求下列幂级数的收敛域： （1）$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2 n-1}{2^n} x^{2 n-2}$ ． （2）$\sum_{n=1}^{\infty} x^{n^3}$ ． （3）$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{a^{n^2}} x^n(a>0)$ ．

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【40344】 【 函数展开为幂级数】 解答题 设 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 收敛半径为 $R$ ，试问 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^{k n+m}$ 的收敛半径为多少？其中 $k, m$ 都是取定的正整数．

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【40343】 【 一般周期函数的傅里叶级数】 解答题 $f(x)$ 以 $2 \pi$ 为周期，且在 $[0,2 \pi]$ 上，$f(x)=x+1$ ，试将 $f(x)$ 展开成傅里叶级数．

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【40342】 【 一般周期函数的傅里叶级数】 解答题 $f(x)$ 的周期为 $2 \pi$ ，它在 $[-\pi, \pi)$ 上的表达式为 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}b x & -\pi \leq x<0 \\ a x & 0 \leq x<\pi\end{array}, a, b\right.$ 为常数，且 $a>b>0$ ，试将 $f(x)$ 展开成傅里叶级数．

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