【34543】 【 L2空间】 证明题 设 $\left\{\varphi_i\right\}_{i=1}^n$ 为 $\mathscr{L}^2(E)$ 中的规范正交系．证明：由 $\left\{\varphi_i\right\}_{i=1}^n$ 张成的线性子空间 $\mathscr{L}\left(\left\{\varphi_i\right\}_{i=1}^n\right)$ 为 $\mathscr{L}^2 .(E)$ 中的一个 $n$ 维闭线性子空间。

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【34542】 【 L2空间】 证明题 在 $\mathscr{L}^2([-\pi, \pi])$ 中，证明： $$ \left\{\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cos x, \frac{1}{\sqrt{\pi}} \sin x, \cdots, \frac{1}{\sqrt{\pi}} \cos k x, \frac{1}{\sqrt{\pi}} \sin k x, \cdots\right\} $$ 不是完全系．

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【34541】 【 Lp空间】 证明题 设 $f(x), g(x)$ 为 $E$ 上非负可测函数． $1 \leqslant p<+\infty, 1 \leqslant q<+\infty, 1 \leqslant r \leqslant+\infty$ ， $\frac{1}{r}=\frac{1}{p}+\frac{1}{q}-1$ ．证明 ： $$ \int_E f(x) g(x) \mathrm{d} x \leqslant\|f\|_p^{1-\frac{p}{r}}\|g\|_q^{1-\frac{q}{r}}\left(\int_E f^p(x) g^q(x) \mathrm{d} x\right)^{\frac{1}{r}} $$

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【34540】 【 Lp空间】 证明题 设 $0<p, q<+\infty$ ．证明： $$ \mathscr{L}^p(E) \cdot \mathscr{L}^q(E)=\mathscr{L}_{p+q}^{\not q q}(E), $$ 其中 $\mathscr{L}^p(E) \cdot \mathscr{L}^q(E)=\left\{f \cdot g \mid f \in \mathscr{L}^p(E), g \in \mathscr{L}^q(E)\right\}$ 。

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【34539】 【 Lp空间】 证明题 设 $f(x)$ 为 $[a, b]$ 上的正值 Lebesgue 可测函数．证明： $$ \left(\frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) \mathrm{d} x\right)\left(\frac{1}{b-a} \int_a^b \frac{\mathrm{~d} x}{f(x)}\right) \geqslant 1 . $$

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【34538】 【 Lp空间】 证明题 设 $1 \leqslant p<r<p^{\prime}, f \in \mathscr{L}^p(E) \cap \mathscr{L}^{p^{\prime}}(E)$ ．证明：$f \in \mathscr{L}^r(E)$ ．

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【34537】 【 重积分、累次积分与Fubini定理】 证明题 （Lebesgue 分解定理）设 $f$ 为 $[a, b]$ 上的有界变差函数．证明：$f$ 可分解为 $$ f=f_c+f_s+\varphi, $$ 其中 $\varphi$ 为 $f$ 在 $[a, b]$ 上的跳跃函数，$f_c$ 为 $[a, b]$ 上的绝对连续函数，$f_s$ 为奇异的有界变差函数（当然，$f_c, f_s, \varphi$ 三个函数可以在上述分解中不全出现）。在相差一个常数意义下，三个函数均由 $f$ 惟一决定。

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【34536】 【 重积分、累次积分与Fubini定理】 证明题 设 $f$ 为 $[a, b]$ 上的绝对连续函数．证明：$\bigvee_a^x(f), p(x), n(x)$ 都为绝对连续函数．

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【34535】 【 重积分、累次积分与Fubini定理】 证明题 设 $f:[a, b] \rightarrow[f(a), f(b)]$ 为绝对连续的严格增函数，$g(y)$ 为 $[f(a), f(b)]$ 上的绝对连续函数．证明：$g \circ f(x)=g(f(x))$ 为 $[a, b]$ 上的绝对连续函数．

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【34534】 【 重积分、累次积分与Fubini定理】 证明题 设 $A, B$ 为 $\mathbb{R}^n$ 中的 Lebesgue 可测集．证明： $$ (\mathrm{L}) \int_{\mathrm{R}^n} m((A-x) \cap B) \mathrm{d} x=m(A) \cdot m(B) \text {, } $$ 其中 $A-\boldsymbol{x}^{\prime}=\{a-\boldsymbol{x} \mid a \in A\}$ 为 $A$ 平移－ $\boldsymbol{x}$ 得到的集合．

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