【34853】 【 高等数学《函数的基本概念》基础训练】 填空题 已知 $f(x)=\sin x, f[\varphi(x)]=1-x^2$ ，求函数 $\varphi(x)$ 的定义域．

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【34852】 【 上海交通大学《线性代数》期末考试试卷与答案】 证明题 设 $n$ 阶方阵 $\boldsymbol{A}$ 既是正交矩阵又是正定矩阵，证明： $\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶单位矩阵。

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【34851】 【 上海交通大学《线性代数》期末考试试卷与答案】 证明题 设 $f=\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}$ 是 $n$ 元实二次型，存在 $n$ 维实列向量 $\boldsymbol{x}_1, \boldsymbol{x}_2$ ，使 $\boldsymbol{x}_1^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}_1>0$ ， $\boldsymbol{x}_2^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}_2<0$ ．证明：存在 $n$ 维实列向量 $\boldsymbol{x}_0 \neq \mathbf{0}$ ，使 $\boldsymbol{x}_0^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}_0=0$ ．

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【34850】 【 上海交通大学《线性代数》期末考试试卷与答案】 解答题 设向量组 $$ \begin{aligned} & \boldsymbol{\alpha}_1=\left[\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right], \boldsymbol{\alpha}_2=\left[\begin{array}{r} -1 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right], \boldsymbol{\alpha}_3=\left[\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right] ; \\ & \boldsymbol{\beta}_1=\left[\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right], \boldsymbol{\beta}_2=\left[\begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right], \boldsymbol{\beta}_3=\left[\begin{array}{l} a \\ 0 \\ 1 \end{array}\right] . \end{aligned} $$ （1）问：$a$ 取何值时，向量组 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\beta}_3$ 是向量空间 ${ }^3$ 的基，为什么？ （2）求 $2^3$ 中基 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 到基 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\beta}_3$ 的过渡矩阵。

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【34849】 【 上海交通大学《线性代数》期末考试试卷与答案】 解答题 设三维列向量 $\boldsymbol{\alpha}=(1,2,1)^{\mathrm{T}}$ ． （1）求三维列向量 $\boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\gamma}$ ，使 $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\gamma}$ 为正交向量组； （2）证明： $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\gamma}$ 是 $z^3$ 的基，并求向量 $\boldsymbol{\eta}=(1,1,1)^{\mathrm{T}}$ 在基 $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\gamma}$ 下的坐标．

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【34848】 【 上海交通大学《线性代数》期末考试试卷与答案】 解答题 求正交变换 $x=Q y$ ，将二次型 $$ f\left(x_1, x_2, x_3\right)=3 x_1^2+3 x_2^2-4 x_1 x_2+x_3^2 $$ 化为标准形。

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【34847】 【 上海交通大学《线性代数》期末考试试卷与答案】 解答题 设矩阵 $$ \boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{rrr} 1 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \end{array}\right] . $$ （1）若矩阵 $\boldsymbol{B}$ 满足 $\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}=\boldsymbol{A B}$ ，试求矩阵 $\boldsymbol{B}$ ； （2）若列向量 $\boldsymbol{\alpha}$ 满足 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{\omega} \boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}$ ，试求 $\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\alpha}$ ．

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【34846】 【 上海交通大学《线性代数》期末考试试卷与答案】 解答题 已知线性方程组 $$ \begin{cases}x_1+x_2 & =1, \\ x_1-x_3 & =1, \\ x_1+a x_2+x_3 & =b .\end{cases} $$ （1）试问常数 $a, b$ 取何值时，方程组有无穷多解、有唯一解、无解？ （2）当方程组有无穷多解时，求出其通解．

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【34845】 【 上海交通大学《线性代数》期末考试试卷与答案】 解答题 设矩阵 $$ \boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll} 1 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & 2 \\ 1 & 0 & 3 \end{array}\right], $$ 已知多项式 $g(x)=x^3-2 x^2-1$ ，求行列式 $|g(\boldsymbol{A})|$ ．

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【34844】 【 上海交通大学《线性代数》期末考试试卷与答案】 填空题 已知 $b$ 为一常数，设集合 $$ V=\left\{\boldsymbol{\alpha} \left\lvert\, \boldsymbol{\alpha}=\left[\begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ a_1+a_2+b \end{array}\right]\right., a_1, a_2, b \in \mathbb{R}\right\}, $$ 若 $V$ 是向量空间 $\mathbb{R}^3$ 的子空间，则 $b=$

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