【35326】 【 2024-2025浙江大学《微积分甲上》秋冬学期期末考试试卷解析】 填空题 设函数 $y=y(x)$ 由 $x^2+x y+y^3=1$ 确定，则 $y^{\prime \prime}(1)=$

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【35325】 【 2024-2025浙江大学《微积分甲上》秋冬学期期末考试试卷解析】 填空题 $\int_1^{+\infty} \frac{1}{x(x+1)} \mathrm{d} x=$

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【35324】 【 2024-2025浙江大学《微积分甲上》秋冬学期期末考试试卷解析】 填空题 已知曲线 $l$ 的极坐标方程为 $r=\sin 3 \theta\left(0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{3}\right)$ ，则 $l$ 围成的有界区域的面积为

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【35323】 【 2024-2025浙江大学《微积分甲上》秋冬学期期末考试试卷解析】 填空题 曲线 $y=1-x^2$ 与 $x$ 轴所围区域绕 $y$ 轴旋转一周所得旋转体的体积为

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【35322】 【 2024-2025浙江大学《微积分甲上》秋冬学期期末考试试卷解析】 填空题 设当 $x \rightarrow 0$ 时，$a x+b x^2+\ln (1+x)$ 与 $x^2$ 是等价无穷小，则 $a=$ ，$b=$

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【35321】 【 2024-2025浙江大学《微积分甲上》秋冬学期期末考试试卷解析】 填空题 曲线 $\left\{\begin{array}{l}x=1+t^2 \\ y=t^3\end{array}\right.$ 在 $t=2$ 对应点处的切线方程为

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【35320】 【 2024-2025浙江大学《微积分甲上》秋冬学期期末考试试卷解析】 填空题 曲线 $y=x+x \ln \left(1+\frac{1}{x}\right)$ 的斜渐近线方程为

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【35319】 【 清华大学微积分A(1)期末考试题即参考答案】 证明题 设 $h>0, f(x)$ 为闭区间 $[-h, h]$ 上的无穷可导函数，且 $\forall x \in[0, h]$ ，以及任意的非负整数 $n$ ，都有 $f^{(n)}(x) \geq 0$ 。记 $r_n(x)=\frac{1}{n!} \int_0^x(x-t)^n f^{(n+1)}(t) \mathrm{d} t$ ，求证：$\forall x \in(0, h)$ ，均有 $\lim _{n \rightarrow+\infty} r_n(x)=0$ 。

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【35318】 【 清华大学微积分A(1)期末考试题即参考答案】 证明题 设 $p(x)=x^n+a_{n-1} x^{n-1}+...+a_1 x+a_0$ 为实系数 $n$ 次多项式。若 $p(x) \geq 0$ ， $x \in(-\infty,+\infty)$ ，证明：$p(x)+p^{\prime}(x)+...+p^{(n)}(x) \geq 0, x \in(-\infty,+\infty)$ ． 这里 $p^{\prime}(x), p^{\prime \prime}(x), ~ p^{(n)}(x)$ 表示 $p(x)$ 的一阶，二阶，以及 $n$ 阶导数。

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【35317】 【 清华大学微积分A(1)期末考试题即参考答案】 证明题 设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上非负连续，且满足 $(f(x))^2 \leq 1+2 \int_0^x f(t) \mathrm{d} t, x \in[0,1]$ ，证明： $f(x) \leq 1+x, x \in[0,1]$.

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