【35316】 【 清华大学微积分A(1)期末考试题即参考答案】 证明题 设 $f \in C(0,+\infty)$ ，并且 $\forall a>0, b>1$ ，都有积分值 $\int_a^{a b} f(x) \mathrm{d} x$ 与 $a$ 无关，求证：存在常数 $C$ ，使得 $f(x)=\frac{C}{x}, x \in(0,+\infty)$ 。

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【35315】 【 清华大学微积分A(1)期末考试题即参考答案】 解答题 求常微分方程的初值问题 $\left\{\begin{array}{l}\sqrt{1+\left(y^{\prime}\right)^2}=(1-x) y^{\prime \prime}, \\ y(0)=0, \\ y^{\prime}(0)=0\end{array}\right.$ 的解 $(x<1)$ 。

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【35314】 【 清华大学微积分A(1)期末考试题即参考答案】 解答题 设曲线段 $\Gamma$ 为圆心在点 $(0,1)$ 的单位圆周位于正方形 $0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 1$ 的部分，平面区域 $D$ 为由 $\Gamma, x$ 轴以及直线 $x=1$围成的有界区域。 （I）求区域 $D$ 绕 $x$ 轴旋转一周所产生的旋转体体积； （II）求曲线段 $\Gamma$ 绕 $x$ 轴旋转一周所产生的旋转面面积。

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【35313】 【 清华大学微积分A(1)期末考试题即参考答案】 解答题 设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\mathrm{e}^{\frac{1}{x}}, & x \neq 0 ; \\ 0, & x=0\end{array}\right.$ 讨论函数 $f(x)$ 的连续性，并求 $f(x)$ 的单调区间、极值点与极值、凸性区间、拐点和渐近线。

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【35312】 【 清华大学微积分A(1)期末考试题即参考答案】 解答题 求数列 $\left\{n^{1 / n}\right\}(n=1,2,3$,$) 的最大项的值

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【35311】 【 清华大学微积分A(1)期末考试题即参考答案】 解答题 讨论 $p$ 取何值时，广义积分 $\int_0^{+\infty} \frac{x^p \ln x}{\left(1+x^2\right)^2} \mathrm{~d} x$ 收敛。

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【35310】 【 清华大学微积分A(1)期末考试题即参考答案】 填空题 设当 $x \rightarrow 0$ 时，函数 $\left(\frac{\sin x}{x}\right)^{\frac{1}{3}}-\mathrm{e}^{\frac{x^2}{3}}$ 为 $p$ 阶无穷小，则 $p=$

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【35309】 【 清华大学微积分A(1)期末考试题即参考答案】 填空题 曲线段 $y=2 x^{\frac{3}{2}}(0 \leq x \leq 1)$ 的弧长为

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【35308】 【 清华大学微积分A(1)期末考试题即参考答案】 填空题 常微分方程 $y^{\prime}+y=\mathrm{e}^{-x}$ 满足 $y(0)=0$ 的解 $y=y(x)$ 的拐点的横坐标为

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【35307】 【 清华大学微积分A(1)期末考试题即参考答案】 填空题 $\int_0^\pi x(\sin x)^2 \mathrm{~d} x=$

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