【35296】 【 2024新东方数学直通车入门教材-一维随机变量与分布】 填空题 设随机变量 $X$ 的分布函数 $F(x)=\left\{\begin{array}{l}0, x<0 \\ A \sin x, 0 \leq x \leq \frac{\pi}{2} \\ 1, x>\frac{\pi}{2}\end{array}\right.$ ，则 $A=$ $\_\_\_\_$ ,$P\left\{|X|<\frac{\pi}{6}\right\}=$

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【35295】 【 2024新东方数学直通车入门教材-一维随机变量与分布】 解答题 已知随机变量 $X \sim N(0,1)$ ，求 （1）$Y=\left\{\begin{array}{cc}-1, & X<1 \\ 1, & X \geqslant 1\end{array}\right.$ 的分布函数； （2）$Y=\mathrm{e}^X$ 的概率密度

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【35294】 【 2024新东方数学直通车入门教材-一维随机变量与分布】 解答题 已知随机变量 $X$ 的分布函数 $F_X(x)=\left\{\begin{array}{cc}0, & x \leqslant 1, \\ 1-x^{-\lambda,} & x>1\end{array}(\lambda>0), Y=\ln X\right.$ （1）求 $Y$ 的概率密度 $f_Y(y)$ ； （2）计算 $\sum_{k=0}^{\infty} P\{Y \geq k\}$ ．

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【35293】 【 2024新东方数学直通车入门教材-一维随机变量与分布】 解答题 若随机变量 $X$ 服从均值为 2、方差为 $\sigma^2$ 的正态分布，且 $P\{2<X<4\}=0.3$ ，则 $$ P\{X<0\}= $$

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【35292】 【 2024新东方数学直通车入门教材-一维随机变量与分布】 解答题 某人上班地点离家仅一站路，他在公共汽车站候车时间为 $X(\min ), X \sim E(0.25)$ ，他每天要在车站候车 4 次，每次若候车时间超 5 min ，他就改为步行，求甲在一天内步行次数恰好是 2 次的概率．

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【35291】 【 2024新东方数学直通车入门教材-一维随机变量与分布】 解答题 某人由于工作的原因，需要从上海的浦东乘车去松江上班，现在有两条路线供他选择，第一条线路是直接穿过市区，虽路程较短但交通较为拥挤，其所需时间服从的是正态分布 $N(50,100)$ ；而第二条路线是沿着外环公路走，虽路程较长但交通很少阻塞，其所需时间是服从正态分布 $N(60,16)$ ．现问： （1）假设他有 70 分钟的时间可用，他应该选择走哪一条路线？ （2）假设他有 65 分钟的时间可用，他又应该选择走哪一条路线？

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【35290】 【 2024新东方数学直通车入门教材-一维随机变量与分布】 解答题 设元件的寿命 $T$（以小时计）服从指数分布，分布函数为 $F(t)=\left\{\begin{array}{lr}1-e^{-0.03 t}, & t>0, \\ 0, & t \leq 0 .\end{array}\right.$ ．已知元件至少工作了 30 小时，求它能再至少工作 20 小时的概率．

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【35289】 【 2024新东方数学直通车入门教材-一维随机变量与分布】 解答题 设电阻值 $R$ 是一个随机变量，均匀分布在 900 欧姆至 1100 欧姆．求 $R$ 的概率密度及 $R$ 落在 950 欧姆至 1050 欧姆的概率．

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【35288】 【 2024新东方数学直通车入门教材-一维随机变量与分布】 解答题 设随机变量 $X$ 的概率密度为 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}a x, & 0<x<1 \\ 0, & \text { 其它 }\end{array}, Y\right.$ 表示三次独立重复试验中事件 $\left\{X \leq \frac{1}{2}\right\}$ 的次数，求 $P\{Y=2\}$ ．

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【35287】 【 2024新东方数学直通车入门教材-一维随机变量与分布】 解答题 设随机变量 $X$ 具有概率密度 $f(x)=\left\{\begin{array}{lc}k x, & 0 \leq x<3 \\ 2-\frac{x}{2}, & 3 \leq x \leq 4 \\ 0, & \text { 其他 }\end{array}\right.$ （1）确定常数 $k$ ； （2）求 $X$ 的分布函数； （3）$P\left\{1<X \leq \frac{7}{2}\right\}$

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