【35337】 【 2024-2025学年按时阜阳市实验中学八年级期末试卷(部分)】 解答题 如图是盼酚家新装修的房子，其中两个房间甲、乙，他将一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距离地面的垂直距离记作 $M A$ ，如果梯子的底端 $P$ 不动，顶端靠在对面墙上，此时梯子的顶端距离地面的垂直距离记作 $N B$ ． （1）当他在甲房间时，测得 $M A=2.4$ 米，$M P=2.5$ 米，且 $\angle M P N=90^{\circ}$ ，求甲房间的宽 $A$ B； （2）当在乙房间时，他用另一个梯子，测得 $M A=2.8$ 米，且 $\angle M P A=75^{\circ}, \angle N P B=45^{\circ}$ ． （1）$\angle M P N$ 的度数； （2）求乙房间的宽。 [img=/uploads/2025-12/70d058.jpg][/img]

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【35336】 【 2024-2025学年按时阜阳市实验中学八年级期末试卷(部分)】 填空题 通过学习 《二次根式》和 《乘法公式》，可以发现：通过学习 《二次根式》和《乘法公式》，可以发现：当 $a>0, b>0$ 时，$\therefore(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2=a-2 \sqrt{a b}+b \geq 0, \therefore a+b \geq 2 \sqrt{a b}$ ，当且仅当 $a=b$时取等号。请利用上述结论解决以下问题： （1）当 $x>0$ 时，$x+\frac{1}{x}$ 的最小值为 $\_\_\_\_$ ； （2）如图，四边形 $A B C D$ 的对角线 $A C, B D$ 相交于点 $O, \triangle A O B, \triangle C O D$ 的面积分别为 4 和 9 ，求四边形 $A B C D$ 面积的最小值为 $\_\_\_\_$。 [img=/uploads/2025-12/d03744.jpg][/img]

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【35334】 【 2024-2025浙江大学《微积分甲上》秋冬学期期末考试试卷解析】 证明题 已知函数 $f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上有 2 阶导数，且 $f^{\prime \prime}(x)<0, f(0)=f(1)=0$ ．证明： （1）$f^{\prime}(x)$ 在区间 $(0,1)$ 内存在唯一零点 $x_0$ ，且当 $x \in(0,1)$ 时 $f(x)>0$ ； （2）$\exists x_1 \in\left(0, x_0\right), x_2 \in\left(x_0, 1\right)$ ，使得 $f\left(x_1\right)=f\left(x_2\right)=\frac{f\left(x_0\right)}{2}$ ，且 $\int_0^1 f(x) \mathrm{d} x<f\left(x_0\right)\left(x_2-x_1\right)$ ．

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【35333】 【 2024-2025浙江大学《微积分甲上》秋冬学期期末考试试卷解析】 证明题 已知数列 $\left\{a_n\right\},\left\{b_n\right\}$ 满足 $e^{a_n}=a_n+e^{b_n}$ ，其中 $0<a_n<\frac{1}{n^2}$ ． 证明：（1） $0<b_n<\frac{3 a_n^2}{4}$ ； （2） $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{b_1}{a_1}+\frac{b_2}{a_2}+\cdots+\frac{b_n}{a_n}\right)$ 存在．

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【35332】 【 2024-2025浙江大学《微积分甲上》秋冬学期期末考试试卷解析】 解答题 设 $t>0$ ，平面有界区域 $D$ 由曲线 $y=x e^{-2 x}$ 与直线 $x=t, x=2 t$ 及 $x$ 轴所围成．已知 $D$ 的面积为 $S(t)$ ，求 $S(t)$ 的最大值．

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【35331】 【 2024-2025浙江大学《微积分甲上》秋冬学期期末考试试卷解析】 解答题 已知函数 $f(x)=x \int_1^x \frac{\sin t^2}{t} \mathrm{~d} t$ ，求 $\int_0^1 f(x) \mathrm{d} x$

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【35330】 【 2024-2025浙江大学《微积分甲上》秋冬学期期末考试试卷解析】 解答题 求不定积分 $\int x \ln \frac{x-1}{x+1} \mathrm{~d} x$

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【35329】 【 2024-2025浙江大学《微积分甲上》秋冬学期期末考试试卷解析】 解答题 求曲线 $\left\{\begin{array}{l}x=\cos ^3 t, \\ y=\sin ^3 t\end{array} \quad(0 \leq t \leq 2 \pi)\right.$ 的弧长．

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【35328】 【 2024-2025浙江大学《微积分甲上》秋冬学期期末考试试卷解析】 解答题 计算极限 $\lim _{x \rightarrow \infty} x\left[e^{\frac{1}{x}}-x \ln \left(1+\frac{1}{x}\right)\right]$

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【35327】 【 2024-2025浙江大学《微积分甲上》秋冬学期期末考试试卷解析】 填空题 设 $f(x)=x^2\left(e^x+1\right)$ ，则 $f^{(5)}(1)=$

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