【35949】 【 2025-2026湖南省金太阳12月份高二数学上月考试卷】 解答题 已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n, a_1=2, a_2=3$ ，且 $S_n-3 S_{n-1}+2 S_{n-2}+1=0(n \geqslant 3)$ ． （1）求 $a_3$ ； （2）求 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式； （3）求数列 $\left\{\frac{3 a_n-1}{a_{n+1} a_n} \sin \left(n \pi+\frac{\pi}{2}\right)\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_n$ ．

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【35948】 【 2025-2026湖南省金太阳12月份高二数学上月考试卷】 解答题 已知动点 $M$ 到点 $(1,0)$ 的距离比 $M$ 到直线 $x=-5$ 的距离小 4 ，设 $M$ 的轨迹为曲线 $C$ ． （1）求 $C$ 的标准方程； （2）若点 $P$ 的坐标为 $(5,0)$ ，求 $|M P|$ 的最小值； （3）若过点 $(1,0)$ 的直线 $l$ 与 $C$ 交于 $A, B$ 两点，点 $Q(6,-1)$ ，且 $\angle A B Q=\angle B A Q$ ，判断 $l$ 的条数，并说明理由．

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【35947】 【 2025-2026湖南省金太阳12月份高二数学上月考试卷】 解答题 如图，在四棱锥 $P-A B C D$ 中，四边形 $A B C D$ 是梯形；$A D / / B C, A D=2 B C, A B \perp A D, B C \perp P B, P A=A B=B C, P C=\sqrt{3} A B, E$ 是棱 $P D$ 的中点． （1）证明：$P A \perp$ 平面 $A B C D$ ． （2）求二面角 $P-A C-E$ 的正弦值． [img=/uploads/2026-01/83aaaf.jpg][/img]

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【35946】 【 2025-2026湖南省金太阳12月份高二数学上月考试卷】 解答题 已知公差不为 0 的等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 的首项为 3 ，等比数列 $\left\{b_n\right\}$ 的前三项为 $\frac{1}{a_1}, \frac{1}{a_3}, \frac{1}{a_9}$ ． （1）求 $\left\{a_n\right\},\left\{b_n\right\}$ 的通项公式； （2）若数列 $\left\{a_n+b_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_n$ ，证明：$T_{10}<\frac{331}{2}$ ．

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【35945】 【 2025-2026湖南省金太阳12月份高二数学上月考试卷】 填空题 已知正项数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_{n+1}^n=a_n^{n+1}, a_1=\frac{1}{2}$ ，则 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式为 $a_n=$ $\_\_\_\_$ ．若对任意的 $n \in \mathbf{N}_{+}$，关于 $n$ 的不等式 $\left[t-(-1)^n a_n\right]\left[t+(-1)^n a_{n+3}\right]>0$ 恒成立，则 $t$ 的取值范围为

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【35944】 【 2025-2026湖南省金太阳12月份高二数学上月考试卷】 填空题 甲、乙、丙三名毕业生到 $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$ 三个公司实习，假设每名毕业生都要去实习，且到 $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$ 三个公司实习的概率相等，则恰有两名毕业生到 A公司实习的概率是

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【35943】 【 2025-2026湖南省金太阳12月份高二数学上月考试卷】 填空题 $-\mathrm{i}(7-3 \mathrm{i})$ 的虚部为

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【35942】 【 2025-2026湖南省金太阳12月份高二数学上月考试卷】 多选题 如图，在棱长为 6 的正方体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 中，$E, F$ 分别是棱 $C C_1, C_1 D_1$ 的中点，$H$ 是棱 $B B_1$ 上的动点，则 [img=/uploads/2026-01/8905f2.jpg][/img]

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【35941】 【 2025-2026湖南省金太阳12月份高二数学上月考试卷】 多选题 已知等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$ ，公差 $d \neq 0$ ，若存在正整数 $m, k(m \neq k)$ ，使得 $S_m=S_k$ ，则

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【35940】 【 2025-2026湖南省金太阳12月份高二数学上月考试卷】 多选题 已知双曲线 $C_1: \frac{x^2}{m^2}-\frac{y^2}{n^2}=1(m>0, n>0)$ 与双曲线 $C_2: \frac{y^2}{n^2}-\frac{x^2}{m^2}=1$ ，则

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