【35969】 【 2025-2026 高三T8联考(湖北辽宁福建广东湖南江苏河北重庆)试卷】 解答题 约輸•卡尔•弗里德里希•高斯，德国著名的数学家、物理学家、天文学家，是近代数学奠基者之一，享有＂数学王子＂之称．函数 $y=[x]$ 称为高斯函数，其中 $[x]$ 表示不超过实数 $x$ 的最大整数，如 $[1.2]=1,[-1.3]=-2$ ．已知函数 $f(x)=\frac{2 \cos x}{x}$ ． （1）当 $x=4$ 和 $x=5$ 时，求 $[f(x)]$ 的值； （2）设 $g(x)=\sqrt{x+45}-\sqrt{x+5}, x_1=5, x_{n+1}=g\left(x_n\right), n \in \mathbf{N}^*$ ． ① 求 $\sum_{i=1}^n\left[f\left(x_i\right)\right]$ 的表达式；$(g(5)>3.9, g(3.9)<4.1, g(4.1)>3.9)$ ② 求 $\left[\sum_{i=1}^n x_i\right]$ 的表达式．

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【35968】 【 2025-2026 高三T8联考(湖北辽宁福建广东湖南江苏河北重庆)试卷】 解答题 已知椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_1(-2,0), F_2(2,0)$ ，且椭圆 $C$过点 $(\sqrt{2}, \sqrt{3})$ ，椭圆的下顶点为 $E$ ． （1）求椭圆 $C$ 的方程； （2）过右焦点 $F_2$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $A, B$ 两点（点 $A$ 在点 $B$ 的上方），与 $y$ 轴交于点 $P$（点 $P$ 在点 $E$ 的下方），$Q$ 为点 $P$ 关于原点的对称点，$Q B$ 交 $x$ 轴于点 $R$ ，设 $\triangle P B Q, \triangle B F_2 Q, \triangle A F_2 Q$ 的面积分别为 $S_1, S_2, S_3$ ． （1）若直线 $l$ 的斜率为 2 ，求 $\frac{S_1+S_3}{S_2+S_3}$ 的值； （2）是否存在直线 $l$ ，使 $Q, R, F_2, A$ 四点共圆？若存在，试判断直线 $l$ 的条数；若不存在，请说明理由。 [img=/uploads/2026-01/5ccf7f.jpg][/img]

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【35967】 【 2025-2026 高三T8联考(湖北辽宁福建广东湖南江苏河北重庆)试卷】 解答题 如图，在斜三棱柱 $A B C-A_1 B_1 C_1$ 中，$\angle B A C=90^{\circ}, A B=A C, \angle A_1 A B=\angle A_1 A C$ ，$O$ 是 $B C$ 的中点． （1）求证：平面 $B C C_1 B_1 \perp$ 平面 $A_1 A O$ ； （2）若 $A_1 O \perp$ 底面 $A B C$ ，且直线 $A A_1$ 与底面 $A B C$ 所成角为 $60^{\circ}, D$ 是棱 $B B_1$ 的中点，求平面 $A C_1 D$ 与平面 $A B C$ 夹角的余弦值． [img=/uploads/2026-01/55bf95.jpg][/img]

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【35966】 【 2025-2026 高三T8联考(湖北辽宁福建广东湖南江苏河北重庆)试卷】 解答题 （1） 1 个质点在数轴上运动，每次向左或向右移动 1 个单位长度（相对于原点 $O$ ，质点向右移动了 $i(i \in \mathbf{N})$ 个单位长度后位置记为 $i$ ，向左移动了 $i(i \in \mathbf{N})$ 个单位长度后位置记为 $-i$ ）．已知质点每次向右移动的概率为 $p(0<p<1)$ ．记 $X$ 为质点从原点 $O$ 出发，移动 2 次后的位置，求满足随机变量 $X$ 的期望大于 0 的 $p$ 的取值范围； （2） 1 个质点从平面直角坐标系中某点 $A$ 出发，每次等可能地向上或向下或向左或向右移动 1 个单位长度，求该质点经过 4 次移动后回到点 $A$ 的概率．

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【35965】 【 2025-2026 高三T8联考(湖北辽宁福建广东湖南江苏河北重庆)试卷】 解答题 在 $\triangle A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对边分别为 $a, b, c$ ，且满足 $\cos ^2 \frac{A}{2}=\frac{b+c}{2 c}$ ． （1）求角 $C$ 的大小； （2）若点 $D$ 在边 $A B$ 上，且满足 $A B=3 A D$ ，求 $\frac{\tan A}{\tan \angle A C D}$ 的值．

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【35964】 【 2025-2026 高三T8联考(湖北辽宁福建广东湖南江苏河北重庆)试卷】 填空题 已知 $\alpha, \beta \in \mathbf{R},(\sin \alpha-|\sin \beta|) \cdot(\cos \beta-|\cos \alpha|)=0$ ，则 $\sin \alpha+\cos \beta-2$ 的最小值为

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【35963】 【 2025-2026 高三T8联考(湖北辽宁福建广东湖南江苏河北重庆)试卷】 填空题 已知抛物线 $C: y^2=2 p x(p>0)$ 的焦点为 $F$ ，斜率为 1 的直线 $l$ 与抛物线 $C$ 交于 $M, N$两点，则 $\frac{||F M|-|F N||}{|M N|}$ 的值为

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【35962】 【 2025-2026 高三T8联考(湖北辽宁福建广东湖南江苏河北重庆)试卷】 填空题 已知 $\left(x+\frac{2}{x}\right)^n\left(n \in \mathbf{N}^*\right)$ 的展开式中，第 6 项系数与第 7 项系数之比为 $3!1$ ，则 $n$ 的值为

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【35961】 【 2025-2026 高三T8联考(湖北辽宁福建广东湖南江苏河北重庆)试卷】 多选题 已知正四棱锥 $P-A B C D$ 的底面边长为 1 ，高为 $h$ ，该正四棱锥的顶点 $P$ 在正方体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 的内部（包括表面），则下列结论正确的是

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【35960】 【 2025-2026 高三T8联考(湖北辽宁福建广东湖南江苏河北重庆)试卷】 多选题 已知函数 $f(x)=\sin \pi x, g(x)=x-\frac{1}{x}-\ln x, h(x)=f(x) \cdot g(x)$ ，则下列说法正确的是

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