【37167】 【 特征值与特征向量解答题训练】 解答题 已知 $\boldsymbol{\xi}=\left(\begin{array}{c}1 \\ 1 \\ -1\end{array}\right)$ 是矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}2 & -1 & 2 \\ 5 & a & 3 \\ -1 & b & -2\end{array}\right)$ 的一个特征向量． （I）试确定参数 $a, b$ 及特征向量 $\xi$ 所对应的特征值； （II）问 $\boldsymbol{A}$ 能否相似于对角阵？说明理由．

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【37166】 【 特征值与特征向量解答题训练】 解答题 已知矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}-2 & -2 & 1 \\ 2 & x & -2 \\ 0 & 0 & -2\end{array}\right)$ 与 $\boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{ccc}2 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & y\end{array}\right)$ 相似． （I）求 $x, y$ ； （II）求可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ 使得 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A P}=\boldsymbol{B}$ ．

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【37165】 【 特征值与特征向量解答题训练】 解答题 设矩阵 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 相似，其中 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}-2 & 0 & 0 \\ 2 & x & 2 \\ 3 & 1 & 1\end{array}\right), \boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{ccc}-1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & y\end{array}\right)$ ． （I）求 $x$ 和 $y$ 的值； （II）求可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ ，使 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A P}=\boldsymbol{B}$ ．

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【37164】 【 特征值与特征向量解答题训练】 解答题 已知矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & x\end{array}\right)$ 与 $\boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{ccc}2 & 0 & 0 \\ 0 & y & 0 \\ 0 & 0 & -1\end{array}\right)$ 相似． （I）求 $x$ 与 $y$ ； （II）求一个满足 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A P}=\boldsymbol{B}$ 的可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ ．

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【37163】 【 2026年金榜时代《考研数学》模拟试卷5月份模考试卷】 解答题 计算二重积分 $I=\iint_D r^2 \sin \theta \sqrt{1-r^2 \cos 2 \theta} \mathrm{~d} r \mathrm{~d} \theta$ ，其中 $$ D=\left\{(r, \theta) \mid 0 \leqslant r \leqslant \sec \theta, 0 \leqslant \theta \leqslant \frac{\pi}{4}\right\} . $$

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【37162】 【 2026年金榜时代《考研数学》模拟试卷5月份模考试卷】 解答题 设函数 $z=z(x, y)$ 由方程 $\left(x^2+y^2\right) z+\ln z+2(x+y+1)=0$ 确定，求 $z=z(x, y)$ 的极值。

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【37161】 【 2026年金榜时代《考研数学》模拟试卷5月份模考试卷】 解答题 设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续 $(a>0)$ ，在 $(a, b)$ 内可导，且 $f^{\prime}(x) \neq 0$ ，求证：存在 $\xi, \eta \in(a, b)$ ，使得 $f^{\prime}(\xi)=\frac{a+b}{2 \eta} f^{\prime}(\eta)$ 。

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【37160】 【 2026年金榜时代《考研数学》模拟试卷5月份模考试卷】 解答题 设有抛物线 $\Gamma: y=a-b x^2(a>0, b>0)$ ，试确定常数 $a, b$ 的值，使得 （1）$\Gamma$ 与直线 $y=x+1$ 相切； （2）$\Gamma$ 与 $x$ 轴所围图形绕 $y$ 轴旋转所得旋转体体积最大．

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【37159】 【 2026年金榜时代《考研数学》模拟试卷5月份模考试卷】 解答题 设 $f(x)=\int_1^{x^2} \frac{\sin t}{t} \mathrm{~d} t$ ，求 $\int_0^1 x f(x) \mathrm{d} x$

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【37158】 【 2026年金榜时代《考研数学》模拟试卷5月份模考试卷】 解答题 求 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+x^2}-\sqrt[3]{1+2 \sin ^2 x}}{\tan ^2 x}$

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