【37177】 【 递推数列构造等差等比数列】 解答题 设数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$ ，已知 $b a_n-2^n=(b-1) S_n$ ． （1）证明：当 $b=2$ 时，$\left\{a_n-n \cdot 2^{n-1}\right\}$ 是等比数列； （2）求 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式。

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【37176】 【 递推数列构造等差等比数列】 解答题 已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $2^{a_{n+1}}=2^{a_n}+2^{\log _4 8}, n \in \mathbf{N}^*$ ，且 $a_1=\frac{3}{2}$ ． （1）求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式． （2）是否存在正整数 $n$ ，使得 $a_n, a_{n+1}, a_{n+2}$ 等差数列？若存在，求出 $n$ 的值；若不存在，请说明理由．

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【37175】 【 递推数列构造等差等比数列】 解答题 已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_1=2,2 a_{n+1}+a_n a_{n+1}-2 a_n=0\left(n \in \mathbf{N}^*\right)$ ． （1）求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式； （2）设 $b_n=(-1)^n \frac{8}{\left(4 n^2-1\right) a_n},\left\{b_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$ ，证明：$-1<S_{2 n} \leq-\frac{4}{5}$ ．

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【37174】 【 递推数列构造等差等比数列】 解答题 数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_1=1, n a_{n+1}=(n+1) a_n+n(n+1), n \in N^{+}$． （1）证明：数列 $\left\{\frac{a_n}{n}\right\}$ 是等差数列； （2）设 $b_n=3^n \cdot \sqrt{a_n}$ ，求数列 $\left\{b_n\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$ ．

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【37173】 【 特征值与特征向量解答题训练】 解答题 设 $\boldsymbol{A}$ 为 3 阶实对称矩阵， $\boldsymbol{A}$ 的秩为 2 ，且 $\boldsymbol{A}\left(\begin{array}{cc}1 & 1 \\ 0 & 0 \\ -1 & 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-1 & 1 \\ 0 & 0 \\ 1 & 1\end{array}\right)$ ． （I）求 $\boldsymbol{A}$ 的所有特征值与特征向量； （II）求矩阵 $\boldsymbol{A}$ ．

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【37172】 【 特征值与特征向量解答题训练】 解答题 设三阶实对称矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征值是 $1,2,3$ ；矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的属于特征值 1,2 的特征向量分别是 $\boldsymbol{\alpha}_1=(-1,-1,1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_2=(1,-2,-1)^{\mathrm{T}}$ ． （I）求 $\boldsymbol{A}$ 的属于特征值 3 的特征向量； （II）求矩阵 $\boldsymbol{A}$ ．

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【37171】 【 特征值与特征向量解答题训练】 解答题 设 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}0 & -1 & 4 \\ -1 & 3 & a \\ 4 & a & 0\end{array}\right)$ ，正交矩阵 $\boldsymbol{Q}$ 使得 $\boldsymbol{Q}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{Q}$ 为对角矩阵，若 $\boldsymbol{Q}$ 的第一列为 $\frac{1}{\sqrt{6}}(1,2,1)^{\mathrm{T}}$ ，求 $a, Q$ ．

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【37170】 【 特征值与特征向量解答题训练】 解答题 设实对称矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}a & 1 & 1 \\ 1 & a & -1 \\ 1 & -1 & a\end{array}\right)$ ，求可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ ，使 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P}$ 为对角矩阵，并计算行列式 $|\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E}|$ 的值．

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【37169】 【 特征值与特征向量解答题训练】 解答题 设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & 1 \\ x & 4 & y \\ -3 & -3 & 5\end{array}\right)$ ，已知 $\boldsymbol{A}$ 有三个线性无关的特征向量，$\lambda=2$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的二重特征值，试求可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ ，使得 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A P}$ 为对角矩阵．

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【37168】 【 特征值与特征向量解答题训练】 解答题 若矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{lll}2 & 2 & 0 \\ 8 & 2 & a \\ 0 & 0 & 6\end{array}\right)$ 相似于对角阵 $\boldsymbol{\Lambda}$ ，试确定常数 $a$ 的值；并求可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ 使 $P^{-1} A P=\Lambda$.

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