【37298】 【 二次型专题训练】 解答题 设二次型 $f=x_1^2+x_2^2+x_3^2+2 \alpha x_1 x_2+2 \beta x_2 x_3+2 x_1 x_3$ 经正交变换 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{P y}$ 化成 $f=y_2^2+2 y_3^2$ ，其中 $\boldsymbol{x}=\left(x_1, x_2, x_3\right)^{\mathrm{T}}$ 和 $\boldsymbol{y}=\left(y_1, y_2, y_3\right)^{\mathrm{T}}$ 都是 3 维列向量， $\boldsymbol{P}$ 是 3阶正交矩阵．试求常数 $\alpha, \beta$ ．

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【37297】 【 二次型专题训练】 解答题 已知二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=2 x_1^2+3 x_2^2+3 x_3^2+2 a x_2 x_3(a>0)$ ，通过正交变换化成标准形 $f=y_1^2+2 y_2^2+5 y_3^2$ ，求参数 $a$ 及所用的正交变换矩阵。

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【37296】 【 二次型专题训练】 解答题 已知二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=4 x_2^2-3 x_3^2+4 x_1 x_2-4 x_1 x_3+8 x_2 x_3$ ． （I）写出二次型 $f$ 的矩阵表达式； （II）用正交变换把二次型 $f$ 化为标准形，并写出相应的正交矩阵。

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【37295】 【 二次型专题训练】 解答题 求一个正交变换化二次型 $f=x_1^2+4 x_2^2+4 x_3^2-4 x_1 x_2+4 x_1 x_3-8 x_2 x_3$ 成标准形．

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【37294】 【 二次型专题训练】 填空题 若二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=2 x_1^2+x_2^2+x_3^2+2 x_1 x_2+t x_2 x_3$ 是正定的，则 $t$ 的取值范围是

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【37293】 【 二次型专题训练】 填空题 设二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2-x_2^2+2 a x_1 x_3+4 x_2 x_3$ 的负惯性指数为 1 ，则 $a$ 的取值范围是

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【37292】 【 二次型专题训练】 填空题 设二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}$ 的秩为 $1, \boldsymbol{A}$ 的各行元素之和为 3 ，则 $f$ 在正交变换 $x=Q y$ 下的标准形为

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【37291】 【 二次型专题训练】 填空题 若二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2+3 x_2^2+x_3^2+2 x_1 x_2+2 x_1 x_3+2 x_2 x_3$ ，则 $f$ 的正惯性指数为

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【37290】 【 二次型专题训练】 填空题 已知实二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=a\left(x_1^2+x_2^2+x_3^2\right)+4 x_1 x_2+4 x_1 x_3+4 x_2 x_3$ 经正交变换 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{P} \boldsymbol{y}$ 可化成标准形 $f=6 y_1^2$ ，则 $a=$

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【37289】 【 二次型专题训练】 填空题 二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=\left(x_1+x_2\right)^2+\left(x_2-x_3\right)^2+\left(x_3+x_1\right)^2$ 的秩为

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