【37308】 【 等差数列前n项和的求解】 解答题 记 $S_n$ 是公差不为 0 的等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和，若 $a_3=S_5, a_2 a_4=S_4$ ． （1）求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式 $a_n$ ； （2）求使 $S_n>a_n$ 成立的 $n$ 的最小值．

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【37307】 【 等差数列前n项和的求解】 填空题 将数列 $\{2 n-1\}$ 与 $\{3 n-2\}$ 的公共项从小到大排列得到数列 $\{a n\}$ ，则 $\{a n\}$ 的前 $n$ 项和为

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【37306】 【 等差数列前n项和的求解】 填空题 记 $S_n$ 为等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和．若 $a_1=-2, a_2+a_6=2$ ，则 $S_{10}=$

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【37305】 【 等差数列前n项和的求解】 单选题 记 $S_n$ 为等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和．若 $a_2+a_6=10, a_4 a_8=45$ ，则 $S_5=()$

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【37304】 【 二次型专题训练】 证明题 设 $\boldsymbol{A}$ 为 $m$ 阶实对称矩阵且正定， $\boldsymbol{B}$ 为 $m \times n$ 实矩阵， $\boldsymbol{B}^{\mathrm{T}}$ 为 $\boldsymbol{B}$ 的转置矩阵，试证： $\boldsymbol{B}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{B}$ 为正定矩阵的充分必要条件是 $\boldsymbol{B}$ 的秩 $\mathrm{r}(\boldsymbol{B})=n$ ．

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【37303】 【 二次型专题训练】 解答题 （数1）已知二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=5 x_1^2+5 x_2^2+c x_3^2-2 x_1 x_2+6 x_1 x_3-6 x_2 x_3$ 的秩为 2 。 （I）求参数 $c$ 及此二次型对应矩阵的特征值； （II）指出方程 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=1$ 表示何种二次曲面．

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【37302】 【 二次型专题训练】 解答题 设实二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=\left(x_1-x_2+x_3\right)^2+\left(x_2+x_3\right)^2+\left(x_1+a x_3\right)^2$ ，其中 $a$ 是参数． （I）求 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=0$ 的解； （II）求 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 的规范形．

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【37301】 【 二次型专题训练】 解答题 已知二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A x}$ 在正交变换 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{Q y}$ 下的标准形为 $y_1^2+y_2^2$ ，且 $Q$ 的第 3 列为 $\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, 0, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{\mathrm{T}}$ ． （I）求矩阵 $\boldsymbol{A}$ ； （II）证明 $\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E}$ 为正定矩阵，其中 $\boldsymbol{E}$ 为 3 阶单位矩阵．

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【37300】 【 二次型专题训练】 解答题 已知 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & a \\ 0 & a & -1\end{array}\right)$ ，二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}}\left(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}\right) \boldsymbol{x}$ 的秩为 2 ． （I）求实数 $a$ 的值； （II）求正交变换 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{Q y}$ 将 $f$ 变成标准形．

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【37299】 【 二次型专题训练】 解答题 设二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=a x_1^2+a x_2^2+(a-1) x_3^2+2 x_1 x_3-2 x_2 x_3$ ， （I）求二次型 $f$ 的矩阵的所有特征值； （II）若二次型 $f$ 的规范形为 $y_1^2+y_2^2$ ，求 $a$ 的值．

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