【40464】 【 光电效应及波粒二象性】 单选题 当用一束紫外线照射锌板时，产生了光电效应，这时

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【40463】 【 周民强《数学分析讲义》泰勒级数】 解答题 设有 $f \in C([0,1]), g \in C([0,1])$ ．若对 $[0,1]$ 中任意的 $y_1, y_2$ 且 $f\left(y_1\right)=f\left(y_2\right)$ 时，必有 $g\left(y_1\right)=g\left(y_2\right)$ ，试证明存在多项式列 $\left\{P_n(x)\right\}$ ，使得 $P_n[f(x)]$ 在 $[0,1]$ 上一致收敛于 $g(x)$ 。

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【40462】 【 周民强《数学分析讲义》泰勒级数】 解答题 证明 e 是无理数．

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【40461】 【 周民强《数学分析讲义》泰勒级数】 解答题 试求下列级数的和 $S(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \ln ^n x / n!(x>0)$ ．

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【40460】 【 周民强《数学分析讲义》泰勒级数】 解答题 求下列函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处的 Taylor 级数展式： （1）$f(x)=\frac{3 x+8}{(2 x-3)\left(x^2+4\right)}$ ．

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【40459】 【 周民强《数学分析讲义》泰勒级数】 解答题 求下列幂级数的和 $S(x)$ ： （1） $1+2 x-4 x^3-5 x^4+7 x^6+8 x^7-\cdots(|x|<1)$ ． （2）$\sum_{n=1} n^3 x^n(|x|<1)$ 。

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【40458】 【 周民强《数学分析讲义》泰勒级数】 解答题 设幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n\left(x-x_0\right)^n$ 的收敛半径是 $R$ ，试证明 $$ \left.R=\sup _{r \geqslant 0} r:\left|a_n\right| r^n \text { 是有界列 }\right\} . $$

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【40457】 【 2026届高三曹二考前模拟卷及解析】 解答题 函数 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbf{R}$ ，若 $f(x)$ 满足对任意 $x_1, x_2 \in \mathbf{R}$ ，当 $x_1-x_2 \in M$ 时，都有 $f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right) \in M$ ，则称 $f(x)$ 是 $M$ 连续的． （1）请写出一个函数 $f(x)$ 是 $\{1\}$ 连续的，并判断 $f(x)$ 是否是 $\{n\}$ 连续的 $\left(n \in \mathbf{N}^*\right)$ ，说明理由； （2）证明：若 $f(x)$ 是 $[2,3]$ 连续的，则 $f(x)$ 是 $\{2\}$ 连续且是 $\{3\}$ 连续的； （3）当 $x \in\left[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right]$ 时，$f(x)=a x^3+\frac{1}{2} b x+1$ ，其中 $a, b \in \mathbf{Z}$ ，且 $f(x)$ 是 $[2,3]$ 连续的，求 $a, b$ 的值．

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【40456】 【 2026届高三曹二考前模拟卷及解析】 解答题 20．已知椭圆 $\Gamma: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_1, F_2$ ，过 $F_2$ 作直线 $I$ 与椭圆 $\Gamma$ 交于 $A 、 B$ 两点． （1）若 $a=2$ ，求 $\triangle A F_1 B$ 的周长； （2）若 $a=2, b=\sqrt{3}$ ，是否存在直线 $I$ ，使得在 $\triangle A F_1 B$ 为直角三角形？若存在，求直线 $I$ 的方程，若不存在，说明理由； （3）若存在 $l$ ，使得 $\triangle A F_1 F_2 、 \triangle B F_1 F_2$ 中一个面积是另一个面积的两倍，求椭圆 $\Gamma$ 的离心率的取值范围．

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【40455】 【 2026届高三曹二考前模拟卷及解析】 解答题 某小组为调查学生数学建模能力的总体水平，随机抽取了 100 名高中生参加数学建模能力竟赛活动，其中男生 40 名，女生 60 名．根据竟赛成绩，将参赛学生数学建模能力分为＂优秀＂与＂合格＂两级． （1）若男生和女生中分别有 25 名和 35 名被评为＂优秀＂，是否有 $95 \%$ 的把握认为该地区高中生的数学建模能力优秀与否和性别有关？ （2）经统计，男生成绩的均值为 80 ，方差为 49；女生成绩的均值为 75 ，方差为 64 ，求全体参赛学生成绩的均值 $\mu$ 及方差 $\sigma^2$ ． （3）在（2）的条件下，若所有参赛学生的成绩 $X$ 服从正态分布 $N\left(\mu, \sigma^2\right)$ ，试估计成绩在 $[61,85]$ 范围内的学生人数（四舍五入精确到个位）． 参考：（1）$\chi^2=\frac{n(a d-b c)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$ ，其中 $n=a+b+c+d ; P\left(\chi^2 \geq 3.841\right)=0.05$ ； （2）$\Phi(1)=0.8413, \Phi(2)=0.9772, \Phi(3)=0.9987$ ．

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