【39156】 【 上海交通大学《高等数学下》期末考试试卷第八套】 解答题 将函数 $f(x)=\left(1+\mathrm{e}^x\right)^2$ 展开为麦克劳林级数，并求 $f^{(n)}(0), n=1$ ， $2, \cdots$ ．

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【39155】 【 上海交通大学《高等数学下》期末考试试卷第八套】 解答题 求级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{5 n-1}{3^n}$ 的和．

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【39154】 【 上海交通大学《高等数学下》期末考试试卷第八套】 解答题 求抛物面 $z=x^2+3 y^2$ 在某点 $\left(x_0, y_0, z_0\right)$ 处的切平面 $\pi$ ，使其与平面 $4 x- 6 y+z-3=0$ 平行．

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【39153】 【 上海交通大学《高等数学下》期末考试试卷第八套】 解答题 设 $\Sigma$ 为任意闭曲面，$I=\iint_{\Sigma_{\text {外惿 }}}\left(x-\frac{1}{3} x^3\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z-\frac{4}{3} y^3 \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+(3 y- \left.\frac{1}{3} z^3\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$, （1）证明：$\Sigma$ 为椭球面 $x^2+4 y^2+z^2=1$ 时，$I$ 达到最大值； （2）求 $I$ 的最大值．

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【39152】 【 上海交通大学《高等数学下》期末考试试卷第八套】 解答题 求双曲抛物面 $S: 2 z=x^2-y^2$ 被柱面 $x^2+y^2=1$ 截下部分曲面的质量，已知曲面 $S$ 上任一点 $(x, y, z)$ 处的质量面密度为 $6+x+2 y$

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【39151】 【 上海交通大学《高等数学下》期末考试试卷第八套】 解答题 计算曲线积分 $\int_C \frac{-y \mathrm{~d} x+x \mathrm{~d} y}{3(|x|+|y|)}$ ，其中 $C$ 为封闭曲线 $|x|+|y|=1$ 上从点 $A(1,0)$ 到 $B(0,1)$ ，再到 $C(-1,0)$ 的有向折线段．

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【39150】 【 上海交通大学《高等数学下》期末考试试卷第八套】 解答题 曲线 $C$ 是圆柱面 $x^2+y^2=2$ 与平面 $x+y+z=2$ 的交线， （1）求曲线 $C$ 的参数方程； （2）求原点到此曲线 $C$ 的最短距离和最大距离．

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【39149】 【 上海交通大学《高等数学下》期末考试试卷第八套】 填空题 （利用 $\ln (1+x)$ 的幂级数展开式计算）定积分 $\int_0^1 \frac{\ln (1+x)}{x} \mathrm{~d} x=$

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【39148】 【 上海交通大学《高等数学下》期末考试试卷第八套】 填空题 幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}(x-2)^{2 n-1}$ 的收敛区域为

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【39147】 【 上海交通大学《高等数学下》期末考试试卷第八套】 填空题 设 $z=\ln \left(\tan \frac{x}{y}\right)$ ，则 $x \frac{\partial z}{\partial x}+y \frac{\partial z}{\partial y}=$

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