【39228】 【 实验：验证机械能守恒定律】 解答题 某同学利用下述装置对轻质弹簧的弹性势能进行探究：一轻质弹簧放置在光滑水平桌面上，弹簧左端固定，右端与一小球接触而不固连；弹簧处于原长时，小球恰好在桌面边缘，如图所示．向左推小球，使弹簧压缩一段距离后由静止释放；小球离开桌面后落到水平地面．通过测量和计算，可求得弹簧被压缩后的弹性势能 [img=/uploads/2026-04/e53c55.jpg][/img] 回答下列问题： （1）本实验中可认为，弹簧被压缩后的弹性势能 $E_{\mathrm{p}}$ 与小球拋出时的动能 $E_{\mathrm{k}}$ 相等。已知重力加速度大小为 $g$ ．为求得 $E_{\mathrm{k}}$ ，至少需要测量下列物理量中的 $\_\_\_\_$ （填正确答案标号）。 A．小球的质量 $m$ B．小球抛出点到落地点的水平距离 $s$ C．桌面到地面的高度 $h$ D．弹簧的压缩量 $\Delta x$ E．弹簧原长 $l_0$ （2）用所选取的测量量和已知量表示 $E_{\mathrm{k}}$ ，得 $E_{\mathrm{k}}=$ $\_\_\_\_$ ． （3）图中的直线是实验测量得到的 $s-\Delta x$ 图线．从理论上可推出，如果 $h$ 不变．$m$ 增加，$s-\Delta x$ 图线的斜率会 $\_\_\_\_$ （填＂增大＂、＂减小＂或＂不变＂）；如果 $m$ 不变，$h$增加，$s-\Delta x$ 图线的斜率会 $\_\_\_\_$ （填＂增大＂、＂减小＂或＂不变＂）．由图中给出的直线关系和 $E_{\mathrm{k}}$ 的表达式可知，$E_{\mathrm{p}}$ 与 $\Delta x$ 的 $\_\_\_\_$次方成正比． [img=/uploads/2026-04/c9cf9b.jpg][/img]

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【39227】 【 实验：验证机械能守恒定律】 解答题 某同学根据机械能守恒定律，设计实验探究弹簧的弹性势能与压缩量的关系 [img=/uploads/2026-04/0a6892.jpg][/img] （1）如图甲所示，将轻质弹簧下端固定于铁架台，在上端的托盘中依次增加砝码，测量相应的弹簧长度，部分数据如下表，由数据算得劲度系数 $k= $\_\_\_\_$ $\mathrm{N} / \mathrm{m}(g$ 取 9.80 $\mathrm{m} / \mathrm{s}^2$ ）． [img=/uploads/2026-04/d071da.jpg][/img] (2)取下弹簧，将其一端固定于气垫导轨左侧，如图乙所示，调整导轨使滑块自由滑动时，通过两个光电门的速度大小（） [img=/uploads/2026-04/a7e8c5.jpg][/img] （3）用滑块压缩弹簧，记录弹簧的压缩量 $x$ ；释放滑块，记录滑块脱离弹簧后的速度 $v$ ．释放滑块过程中，弹簧的弹性势能转化为 $\_\_\_\_$ ． （4）重复（3）中的操作，得到 $v$ 与 $x$ 的关系如图丙所示，由图可知，$v$ 与 $x$ 成 $\_\_\_\_$关系．由上述实验可得结论：对同一根弹簧，弹性势能与弹簧的 $\_\_\_\_$成正比． [img=/uploads/2026-04/73d8d8.jpg][/img]

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【39226】 【 实验：验证机械能守恒定律】 解答题 利用图1装置做“验证机械能守恒定律”实验． [img=/uploads/2026-04/3c94be.jpg][/img] （1）为验证机械能是否守恒，需要比较重物下落过程中任意两点间的 $\_\_\_\_$。 A．动能变化量与势能变化量 B．速度变化量和势能变化量 C．速度变化量和高度变化量 （2）除带夹子的重物、纸带、铁架台（含铁夹）、电磁打点计时器、导线及开关外，在下列器材中，还必须使用的两种器材是 $\_\_\_\_$ ． A．交流电源 B．刻度尺 C．天平（含砝码） （3）实验中，先接通电源，再释放重物，得到如图 2 所示的一条纸带．在纸带上选取三个连续打出的点 $A 、 B 、 C$ ，测得它们到起始点 $O$ 的距离分别为 $h_A 、 h_B 、 h_C$ ． [img=/uploads/2026-04/0b31e4.jpg][/img] 已知当地重力加速度为 $g$ ，打点计时器打点的周期为 $T$ ．设重物的质量为 $m$ ．从打 $O$点到打 $B$ 点的过程中，重物的重力势能变化量 $\Delta E_{\mathrm{p}}=$ $\_\_\_\_$ ，动能变化量 $\Delta E_{\mathrm{k}}=$ $\_\_\_\_$ ． （4）大多数学生的实验结果显示，重力势能的减少量大于动能的增加量，原因是 $\_\_\_\_$。 A．利用公式 $v=g t$ 计算重物速度 B．利用公式 $v=\sqrt{2 g h}$ 计算重物速度 C．存在空气阻力和摩擦阻力的影响 D．没有采用多次实验取平均值的方法 （5）某同学想用下述方法研究机械能是否守恒：在纸带上选取多个计数点，测量它们到起始点 $O$ 的距离 $h$ ，计算对应计数点的重物速度 $v$ ，描绘 $v^2-h$ 图象，并做如下判断：若图象是一条过原点的直线，则重物下落过程中机械能守恒，请你分析论证该同学的判断依据是否正确．

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【39225】 【 实验：验证机械能守恒定律】 解答题 在利用自由落体运动验证机械能守恒定律的实验中，电源的频率为 50 Hz ，依次打出的点为 $0,1,2,3,4 \cdots n$ ．则： [img=/uploads/2026-04/472c9d.jpg][/img] （1）如用第 2 点到第 6 点之间的纸带来验证，必须直接测量的物理量为 $\_\_\_\_$、 $\_\_\_\_$、 $\_\_\_\_$ ，必须计算出的物理量为 $\_\_\_\_$ ， $\_\_\_\_$ ，验证的表达式为 $\_\_\_\_$ ． （2）下列实验步骤操作合理的排列顺序是 $\_\_\_\_$ ．（填写步骤前面的字母） A．将打点计时器坚直安装在铁架台上 B．接通电源，再松开纸带，让重物自由下落 C．取下纸带，更换新纸带（或将纸带翻个面）重新做实验 D．将重物固定在纸带的一端，让纸带穿过打点计时器，用手提着纸带 E．选择一条纸带，用刻度尺测出物体下落的高度 $h_1, h_2, h_3 \cdots h_n$ ，计算出对应的瞬时速度 $v_1, v_2, v_3 \cdots v_n$ F．分别算出 $\frac{1}{2} m v_n^2$ 和 $m g h_n$ ，在实验误差范围内看是否相等

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【39224】 【 金榜时代2025-2026考研高数5月大联考(一二三共用)】 解答题 计算二重积分 $I=\iint_D r^2 \sin \theta \sqrt{1-r^2 \cos 2 \theta} \mathrm{~d} r \mathrm{~d} \theta$ ，其中 $$ D=\left\{(r, \theta) \mid 0 \leqslant r \leqslant \sec \theta, 0 \leqslant \theta \leqslant \frac{\pi}{4}\right\} . $$

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【39223】 【 金榜时代2025-2026考研高数5月大联考(一二三共用)】 解答题 设函数 $z=z(x, y)$ 由方程 $\left(x^2+y^2\right) z+\ln z+2(x+y+1)=0$ 确定，求 $z=z(x, y)$ 的极值。

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【39222】 【 金榜时代2025-2026考研高数5月大联考(一二三共用)】 解答题 设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续 $(a>0)$ ，在 $(a, b)$ 内可导，且 $f^{\prime}(x) \neq 0$ ，求证：存在 $\xi, \eta \in(a, b)$ ，使得 $f^{\prime}(\xi)=\frac{a+b}{2 \eta} f^{\prime}(\eta)$ ．

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【39221】 【 金榜时代2025-2026考研高数5月大联考(一二三共用)】 解答题 设有抛物线 $\Gamma: y=a-b x^2(a>0, b>0)$ ，试确定常数 $a, b$ 的值，使得 （1）$\Gamma$ 与直线 $y=x+1$ 相切； （2）$\Gamma$ 与 $x$ 轴所围图形绕 $y$ 轴旋转所得旋转体体积最大．

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【39220】 【 金榜时代2025-2026考研高数5月大联考(一二三共用)】 解答题 设 $f(x)=\int_1^{x^2} \frac{\sin t}{t} \mathrm{~d} t$ ，求 $\int_0^1 x f(x) \mathrm{d} x$

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【39219】 【 金榜时代2025-2026考研高数5月大联考(一二三共用)】 解答题 求 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+x^2}-\sqrt[3]{1+2 \sin ^2 x}}{\tan ^2 x}$ ．

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