单选题 （共 18 题 ），每题只有一个选项正确
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}1, & |x| \leqslant 1, \\ 0, & |x|>1,\end{array}\right.$ 则 $f\{f[f(x)]\}$ 等于
$\text{A.}$ 0．
$\text{B.}$ 1 ．
$\text{C.}$ $\begin{cases}1, & |x| \leqslant 1, \\ 0, & |x|>1 .\end{cases}$
$\text{D.}$ $\begin{cases}0, & |x| \leqslant 1, \\ 1, & |x|>1 .\end{cases}$
$\int_0^1(2 x+1) d x$ 的值为
$\text{A.}$ 2
$\text{B.}$ 3
$\text{C.}$ 4
$\text{D.}$ 5
$\lim _{x \rightarrow 0}(1+\sin 3 x)^{\frac{1}{x}}= $
$\text{A.}$ e
$\text{B.}$ $\mathrm{e}^{\frac{1}{3}}$
$\text{C.}$ 1
$\text{D.}$ $\mathrm{e}^3$
$\forall \varepsilon>0, \exists \delta>0$ ，当时恒有 $x_0 < \delta, \quad|f(x)-a| < \varepsilon$ ，则
$\text{A.}$ $\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)=a$ ．
$\text{B.}$ $\lim _{x \rightarrow x_0^{+}} f(x)=a$ ．
$\text{C.}$ $\lim _{x \rightarrow x_0^{-}} f(x)=a$ ．
$\text{D.}$ $f(x)$ 在 $x_0$ 点处连续．
下列定积分为零的是 ．
$\text{A.}$ $\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\arctan x}{1+x^2} d x$
$\text{B.}$ $\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} x \arcsin x d x$
$\text{C.}$ $\int_{-1}^1 \frac{e^x+e^{-x}}{2} d x$
$\text{D.}$ $\int_{-1}^1\left(x^2+x\right) \sin x d x$
曲线 $y=x \ln x$ 的平行于直线 $x-y+1=0$ 的切线方程为 ．
$\text{A.}$ $y=x-1$
$\text{B.}$ $y=-(x+1)$
$\text{C.}$ $y=(\ln x-1)(x-1)$
$\text{D.}$ $y=x$
下列各微分式正确的是
$\text{A.}$ $x d x=d\left(x^2\right)$
$\text{B.}$ $\cos 2 x d x=d(\sin 2 x)$
$\text{C.}$ $d x=-d(5-x)$
$\text{D.}$ $d\left(x^2\right)=(d x)^2$
$\int f^{\prime}\left(\frac{1}{x}\right) \frac{1}{x^2} d x$ 的结果是 ．
$\text{A.}$ $f\left(-\frac{1}{x}\right)+C$
$\text{B.}$ $-f\left(-\frac{1}{x}\right)+C$
$\text{C.}$ $f\left(\frac{1}{x}\right)+C$
$\text{D.}$ $-f\left(\frac{1}{x}\right)+C$
设 $a>0$ ，则 $\int_0^a \sqrt{a^2-x^2} d x=(\quad)$ ．
$\text{A.}$ $a^2$
$\text{B.}$ $\frac{\pi}{2} a^2$
$\text{C.}$ $\frac{1}{4} a^2$
$\text{D.}$ $\frac{1}{4} \pi a^2$
$f(x)=\sin \left(x^2-x\right)$ 是
$\text{A.}$ 有界函数；
$\text{B.}$ 周期函数；
$\text{C.}$ 奇函数；
$\text{D.}$ 偶函数．
设 $f(x), g(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，且 $f(a) < g(a), f(b)>g(b)$ 则方程 $f(x)=g(x)$ 在 $(a, b)$ 内
$\text{A.}$ 有且仅有一个实根；
$\text{B.}$ 未必有实根；
$\text{C.}$ 至少有两个实根；
$\text{D.}$ 至少有一个实根．
设 $f(x)$ 对任意的 $x$ 满足 $f(1+x)=a f(x)$ 且 $f^{\prime}(0)=b$ ，其中 $a, b$ 为非零常数，则 $f^{\prime}(1)$
$\text{A.}$ 不存在；
$\text{B.}$ 等于 $a$ ；
$\text{C.}$ 等于 $b$ ；
$\text{D.}$ 等于 $a b$ ．
曲线 $y=\frac{1+e^{-x^2}}{1-e^{-x^2}}$
$\text{A.}$ 没有渐近线；
$\text{B.}$ 仅有水平渐近线；
$\text{C.}$ 仅有铅直渐近线；
$\text{D.}$ 既有水平渐近线又有铅直渐近线．
下列等式中，正确的是
$\text{A.}$ $\int f^{\prime}(x) d x=f(x)$ ；
$\text{B.}$ $\int d f(x)=f(x)$ ；
$\text{C.}$ $\frac{d}{d x} \int f(x) d x=f(x)$ ；
$\text{D.}$ $d \int f(x) d x=f(x)$ ．
$f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续是 $\int_a^b f(x) d x$ 存在的
$\text{A.}$ 必要条件；
$\text{B.}$ 充分条件；
$\text{C.}$ 充要条件；
$\text{D.}$ 既非充分又非必要条件．
曲线 $y=x(x-1)(2-x)$ 与 $x$ 轴所围成图形面积可表示为
$\text{A.}$ $-\int_0^2 x(x-1)(2-x) d x$ ；
$\text{B.}$ $\int_0^2 x(x-1)(2-x) d x$ ；
$\text{C.}$ $-\int_0^1 x(x-1)(2-x) d x+\int_1^2 x(x-1)(2-x) d x$ ；
$\text{D.}$ $\int_0^1 x(x-1)(2-x) d x-\int_1^2 x(x-1)(2-x) d x$ ；
设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x^2 \sin \frac{1}{x^2}, & x \neq 0, \\ 0, & x=0,\end{array} x \in[-1,1]\right.$ ，则 ．
$\text{A.}$ $f(x)$ 在 $[-1,1]$ 上可导，且 $f^{\prime}(x)$ 在 $[-1,1]$ 上连续；
$\text{B.}$ $f(x)$ 在 $[-1,1]$ 上可导，但 $f^{\prime}(x)$ 在 $[-1,1]$ 上有一个第一类间断点；
$\text{C.}$ $f(x)$ 在 $[-1,1]$ 上可导，但 $f^{\prime}(x)$ 在 $[-1,1]$ 上有一个第二类间断点；
$\text{D.}$ $f(x)$ 在 $[-1,1]$ 上有一个不可导点．
设 $f(x)=\int_0^{\sin x} x \sin \left(t^2\right) \mathrm{d} t$ ，且当 $x \rightarrow 0$ 时，$f(x)$ 与 $\alpha x^\beta$ 是等价无穷小，则
$\text{A.}$ $\alpha=\frac{1}{3}, \beta=3$ ；
$\text{B.}$ $\alpha=\frac{1}{3}, \beta=4$ ；
$\text{C.}$ $\alpha=\frac{1}{4}, \beta=3$ ；
$\text{D.}$ $\alpha=\frac{1}{4}, \beta=4$ ．
填空题 （共 11 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
求 $\lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^2-4}{x-2}$ 。
函数 $y=\frac{1+\sqrt{1-x}}{1-\sqrt{1-x}}$ 的反函数为
$\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{2}{x}\right)^x=$
已知 $\lim _{x \rightarrow 3} \frac{x^2-2 x+k}{x-3}=4$ ，则 $k=$
设 $f(x)=\arccos \left(\frac{\cos x-1}{x^2}\right)(x \neq 0)$ ，欲使 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续，需要定义 $\boldsymbol{f}(\mathbf{0})=$
已知 $y=\sin x$ ，则 $\frac{d y^3}{d x^3}=$
设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 可导，且 $F(x)=x \int_0^{\frac{1}{x}} f(t) d t(x \neq 0)$ ，则 $F^{\prime \prime}(x)=$
设 $f(x)$ 连续可导，则 $\int f^{\prime}(2 x) \mathrm{d} x=$
广义积分 $\int_0^{+\infty} x e^{-x^2} d x=$
极限 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+4}+\cdots+\frac{1}{n+2 n}\right)=$
设 $a_n=\frac{1}{n^2+1}+\frac{2}{n^2+2}+\cdots+\frac{n}{n^2+n}$ ，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_n=$
解答题 （共 9 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求函数 $f(x)=\frac{|x|}{x}, g(x)=\frac{1-a^{\frac{1}{x}}}{1+a^{\frac{1}{x}}}(a>1)$ ，当 $x \rightarrow 0$ 时的左、右极限，并说明 $x \rightarrow 0$ 时极限是否存在．
求由曲线 $y=x^2$ 与 $y=\sqrt{x}$ 所围成的平面图形的面积。
求曲线 $y^2=2 x$ 和直线 $y=x-4$ 所围图形的面积．
求 $y=\sqrt{1-x^2} \arccos x$ 的导数；
已知 $\left\{\begin{array}{l}x=\ln \left(1+t^2\right) \\ y=t-\arctan t\end{array}\right.$ ，试求二阶导数 $\frac{d^2 y}{d x^2}$
计算积分（1） $\int \arcsin x d x$ ；
（2） $\int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}\left(\cos k x \sin k x+\sqrt{2-x^2}\right) d x$ ．
设 $f(x)=\int_x^{x+\frac{\pi}{2}}|\sin t| \mathrm{d} t$ ，
（1）证明：$f(x)$ 是以 $\pi$ 为周期的周期函数；
（2）求 $f(x)$ 的值域．
设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内可导，且 $f(0)=0, f(1)=1$ 。证明：
（1）存在 $\xi \in(0,1)$ ，使得 $f(\xi)=1-\xi$ ；
（2）存在两个不同的点 $\eta, \zeta \in(0,1)$ ，使得 $f^{\prime}(\eta) f^{\prime}(\zeta)=1$ 。
证明题 （共 1 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
利用极限定义证明下列极限：
（1） $\lim _{x \rightarrow 2}(5 x+2)=12$ ，
（2） $\lim _{x \rightarrow a} \sqrt{x}=\sqrt{a}(a>0)$ ．