单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
当 $x \rightarrow 0$ 时，下列四个无穷小量中，哪一个是比其它三个更高阶的无穷小量
$\text{A.}$ $x^2$
$\text{B.}$ $1-\cos x$
$\text{C.}$ $\sqrt{1-x^2}-1$
$\text{D.}$ $x-\tan x$
设当 $x \rightarrow 0$ 时， $(1-\cos x) \ln \left(1+x^2\right)$ 是比 $x \sin x^n$ 高阶的无穷小， $x \sin x^n$ 是比 $\left(e^{x^2}-1\right)$ 高阶的无穷小，则正整数 $n$ 等于
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
当 $x \rightarrow 0^{+}$时，与 $\sqrt{x}$ 等价的无穷小量是
$\text{A.}$ $1-e^{\sqrt{x}}$
$\text{B.}$ $\ln \frac{1+x}{1-\sqrt{x}}$
$\text{C.}$ $\sqrt{1+\sqrt{x}}-1$
$\text{D.}$ $1-\cos \sqrt{x}$
设 $a_1=x(\cos \sqrt{x}-1), a_2=\sqrt{x} \ln (1+\sqrt[3]{x})$, $a_3=\sqrt[3]{x+1}-1$. 当 $x \rightarrow 0^{+}$时，以上 3 个无穷小量按照从低阶到高阶的排序是
$\text{A.}$ $a_1, a_2, a_3$
$\text{B.}$ $a_2, a_3, a_1$
$\text{C.}$ $a_2, a_1, a_3$
$\text{D.}$ $a_3, a_2, a_1$
在 $x \rightarrow 0^{+}$时, 下列无穷小量中与 $x$ 等价的是
$\text{A.}$ $e ^{-\sin x}-1$.
$\text{B.}$ $\sqrt{x+1}-\cos x$.
$\text{C.}$ $1-\cos \sqrt{2 x}$.
$\text{D.}$ $1-\frac{\ln (1+x)}{x}$.
当 $x \rightarrow 0$ 时， $\alpha(x), \beta(x)$ 是非零无穷小量，给出以下四个命题：
(1) 若 $\alpha(x) \sim \beta(x)$, 则 $\alpha^2(x) \sim \beta^2(x)$ ；
(2) 若 $\alpha^2(x) \sim \beta^2(x)$, 则 $\alpha(x) \sim \beta(x)$
(3) 若 $\alpha(x) \sim \beta(x)$ ，则 $\alpha(x)-\beta(x) \sim o(\alpha(x))$ ；
(4) 若 $\alpha(x)-\beta(x) \sim o(\alpha(x))$, 则 $\alpha(x) \sim \beta(x)$.
其中所有真命题序号是
$\text{A.}$ (1)(2)
$\text{B.}$ (1)(4)
$\text{C.}$ (1)(3)(4)
$\text{D.}$ (2)(3)(4)
已知 $\left\{x_n\right\},\left\{y_n\right\}$ 满足:
$$
x_1=y_1=\frac{1}{2}, x_{n+1}=\sin x_n, y_{n+1}=y_n^2(n=1,2, \cdots)
$$
则当 $n \rightarrow \infty$ 时，（）
$\text{A.}$ $x_n$ 是 $y_n$ 的高阶无穷小
$\text{B.}$ $y_n$ 是 $x_n$ 的高阶无穷小
$\text{C.}$ $x_n$ 与 $y_n$ 是等价无穷小
$\text{D.}$ $x_n$ 与 $y_n$ 是同阶但不等价的无穷小
设函数 $f(x), g(x)$ 在 $x=0$ 的某去心邻域内有定义且恒不为零. 若当 $x \rightarrow 0$ 时, $f(x)$ 是 $g(x)$ 的高阶无穷小, 则当 $x \rightarrow 0$ 时, ( )
$\text{A.}$ $f(x)+g(x)=o(g(x))$
$\text{B.}$ $f(x) g(x)=o\left(f^2(x)\right)$
$\text{C.}$ $f(x)=o\left(e^{g(x)}-1\right)$
$\text{D.}$ $f(x)=o\left(g^2(x)\right)$