一、单选题 （共 2 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
已知三维向量 $\alpha_1=\left[\begin{array}{l}a_1 \\ a_2 \\ a_3\end{array}\right], \alpha_2=\left[\begin{array}{l}b_1 \\ b_2 \\ b_3\end{array}\right], \alpha_3=\left[\begin{array}{c}c_1 \\ c_2 \\ c_3\end{array}\right]$, 则三条直 线 $\left\{\begin{array}{l}l_1: a_1 x+b_1 y=c_1 \\ l_2: a_2 x+b_2 y=c_2 \\ l_3: a_3 x+b_3 y=c_3\end{array}\right.$ (其中 $a_i^2+b_i^2 \neq 0, i=1,2,3$ )交于 一点的充要条件是
$\text{A.}$ $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性相关
$\text{B.}$ $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性无关
$\text{C.}$ $r\left(\alpha_1, \alpha_2\right)=r\left(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\right)$
$\text{D.}$ $\alpha_1, \alpha_2$ 线性无关, $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性相关
设 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 是三维向量空间 $\mathbb{R}^3$ 的基, 则由基 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 到 基 $\alpha_1+\alpha_2, \alpha_2+\alpha_3, \alpha_3+\alpha_1$ 的过渡矩阵为
$\text{A.}$ $\left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1\end{array}\right]$
$\text{B.}$ $\left[\begin{array}{lll}0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0\end{array}\right]$
$\text{C.}$ $\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1\end{array}\right]$
$\text{D.}$ $\left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right]$
二、填空题 （共 5 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
设 3 阶方阵 $A$ 的特征值为 $1,2,3$, 而且 $B=A^2+A-2 E$, 则 $|B|=$
如果向量组 (1): $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_x$ 与向量组 (2): $\boldsymbol{\beta}_i, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_r$ 等价, 向量组 (1)线性 无关, 则 $s$ 与 $r$ 的大小关系是
已知矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_4\right)$ 经过初等行变换化为 $\left(\begin{array}{llll}1 & 1 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 1\end{array}\right)$, 选 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 为最大无关组, 则 $\boldsymbol{\alpha}_4$ 由 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性表示为 $\alpha_4=$
$$\text {设 } \boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{rr}
1 & 0 \\
-2 & 1
\end{array}\right), f(x)=x^2+x-2 \text { 及, 则 } f\left(\boldsymbol{A}^{-1}\right)=
$$
三、解答题 （ 共 6 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
设向量 $\boldsymbol{\beta}=(b, 1,1)^{\mathrm{T}}$ 可由 $\boldsymbol{\alpha}_1=(a, 0,1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_2=(1, a-1,1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_3=(1,0, a)^{\mathrm{T}}$ 线性 表示,且表示法不唯一, 记 $\boldsymbol{A}=\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3\right)$.
( I ) 求 $a, b$ 的值,并写出 $\boldsymbol{\beta}$ 由 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 表示的线性表达式;
(II) 求一个可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$, 使得 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A P}=\boldsymbol{\Lambda}$ ( $\boldsymbol{\Lambda}$ 为对角矩阵).
问 $a, b$ 为何值时，线性方程组
$$
\left\{\begin{array}{l}
x_1+x_2+x_3+x_4=0, \\
x_2+2 x_3+2 x_4=1, \\
-x_2+(a-3) x_3-2 x_4=b, \\
3 x_1+2 x_2+x_3+a x_4=-1
\end{array}\right.
$$
有惟一解 ? 无解 ? 有无穷多解 ? 并求出无穷多个解时的通解.
设 $\boldsymbol{A}$ 是 3 阶矩阵, $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的 3 个不同特征值, 对应的特征向量分别为 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$, 令 $\boldsymbol{\beta}=$ $\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_3$.
(1) 证明 $\boldsymbol{\beta}=\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_3$ 不是 $\boldsymbol{A}$ 的特征向量;
（2）证明 $\boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{A}^2 \boldsymbol{\beta}$ 线性无关;
(3) 若 $\boldsymbol{A}^3 \boldsymbol{\beta}=2 \boldsymbol{A} \boldsymbol{\beta}$, 求 $\boldsymbol{A}$ 的特征值;
(4) 在(3）的基础上证明 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{\beta}$ 和 $\boldsymbol{A}^2 \boldsymbol{\beta}$ 是方程组
$$
\left(\boldsymbol{A}^2-2 \boldsymbol{E}\right) \boldsymbol{x}=\mathbf{0}
$$
的基础解系.
计算
$$
D_1=\left|\begin{array}{rrrr}
a_1 & -a_1 & 0 & 0 \\
0 & a_2 & -a_2 & 0 \\
0 & 0 & a_3 & -a_3 \\
1 & 1 & 1 & 1
\end{array}\right|
$$
(请从本题和上一题选择一题）已知三元二次型 $x^{\mathrm{T}} A \boldsymbol{x}$ 经正交变换为 $2 y_1^2-y_2^2-y_3^2$, 又知 $\boldsymbol{B}$ 满足矩阵方程 $\left[\left(\frac{1}{2} \boldsymbol{A}\right)^*\right]^{-1} \boldsymbol{B} \boldsymbol{A}^{-1}=2 \boldsymbol{A} \boldsymbol{B}+4 \boldsymbol{E}$, 且 $\boldsymbol{A}^* \boldsymbol{\alpha}=\boldsymbol{\alpha}$, 其中 $\boldsymbol{\alpha}=(1,1,-1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{A}^*$ 为 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩 阵,求二次型 $x^{\mathrm{T}} B \boldsymbol{x}$ 的表达式.
设向量组: $\alpha_1=\left[\begin{array}{c}-9 \\ 1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right], \alpha_2=\left[\begin{array}{c}2 \\ -8 \\ 2 \\ 2\end{array}\right], \alpha_3=\left[\begin{array}{c}3 \\ 3 \\ -7 \\ 3\end{array}\right], \alpha_4=\left[\begin{array}{c}4 \\ 4 \\ 4 \\ -6\end{array}\right]$, 求此向量组的秩和一个极大线性无关组, 并将其余的向量用该 极大线性无关组表示.