题号:5680    题型:解答题    来源:2024考研数学第一轮模拟考试试题与答案解析(数一)
设 $\boldsymbol{A}$ 是 3 阶矩阵, $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的 3 个不同特征值, 对应的特征向量分别为 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$, 令 $\boldsymbol{\beta}=$ $\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_3$.
(1) 证明 $\boldsymbol{\beta}=\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_3$ 不是 $\boldsymbol{A}$ 的特征向量;
(2)证明 $\boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{A}^2 \boldsymbol{\beta}$ 线性无关;
(3) 若 $\boldsymbol{A}^3 \boldsymbol{\beta}=2 \boldsymbol{A} \boldsymbol{\beta}$, 求 $\boldsymbol{A}$ 的特征值;
(4) 在(3)的基础上证明 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{\beta}$ 和 $\boldsymbol{A}^2 \boldsymbol{\beta}$ 是方程组
$$
\left(\boldsymbol{A}^2-2 \boldsymbol{E}\right) \boldsymbol{x}=\mathbf{0}
$$
的基础解系.
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