单选题 （共 2 题 ），每题只有一个选项正确
由曲线 $y=e^x$ 与直线 $x=1 、 y=1$ 所围成的图形的面积为
$\text{A.}$ $\int_0^1\left(e^x-1\right) d x$
$\text{B.}$ $\int_0^1\left(1-e^x\right) d x$
$\text{C.}$ $\int_0^1 e^x d x$
$\text{D.}$ $\int_0^1\left(e^x+1\right) d x$
曲线 $y=x(x-1)(2-x)$ 与 $x$ 轴所围成图形面积可表示为
$\text{A.}$ $-\int_0^2 x(x-1)(2-x) d x$ ；
$\text{B.}$ $\int_0^2 x(x-1)(2-x) d x$ ；
$\text{C.}$ $-\int_0^1 x(x-1)(2-x) d x+\int_1^2 x(x-1)(2-x) d x$ ；
$\text{D.}$ $\int_0^1 x(x-1)(2-x) d x-\int_1^2 x(x-1)(2-x) d x$ ；
填空题 （共 8 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
曲线 $y=\ln \left(1-x^2\right) \quad 0 \leq x \leq \frac{1}{2}$ 的弧长为
由曲线段 $y=\sqrt{x-\frac{1}{4}}, ~ x \in[1,4]$ 绕 $x$ 轴旋转一周所成旋转面的面积为。
曲线 $y_1(x)=\lim _{a \rightarrow+\infty} \frac{x}{1+x^2-\mathrm{e}^{a x}}, y_2(x)=\frac{1}{2} x$ ，与 $x=1$ 所围图形面积为 $\qquad$ ．
双纽线 $\left(x^2+y^2\right)^2=x^2-y^2$ 所围图形面积是
在区间 $[0, \pi]$ 上曲线 $y=\cos x, y=\sin x$ 之间所围图形的面积为
求由曲线 $y=x^3$ 与 $y=x(x \geq 0)$ 所围成的平面图形的面积。
若 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上可积，且 $\int_a^b f(x) d x=5, \int_a^c f(x) d x=3(a < c < b)$ ，则 $\int_c^b f(x) d x=$
求抛物线 $y=x^2$ 与 $y=2-x^2$ 所围成的平面图形的面积．
解答题 （共 10 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求由 $y=f(x)(\geqslant 0)$ 与直线 $x=a, x=b$ 及 $x$ 轴所围图形绕 $y$ 轴，$x$ 轴旋转一圈，所得的旋转体体积 $V_y, V_x$ ．
求曲线 $y=3-\left|x^2-1\right|$ 与 $x$ 轴所围成的封闭曲线绕直线 $y=3$ 旋转所得的旋转体体积．
设 $f(x)=\int_{-1}^x(1-|t|) d t(x \geqslant-1)$ ，求曲线 $y=f(x)$ 与 $x$ 轴所围成的图形的面积．
计算心形线 $\rho=a(1+\cos \theta)(a>0)$ 所围成的图形的面积．
由 $y=x^3, x=2, y=0$ 所围成的图形，分别绕 $x$ 轴及 $y$ 轴旋转，计算所得的旋转体的体积．
求由曲线 $y^2=2 x$ 和直线 $y=x-4$ 所围平面图形的面积
求由曲线 $y=x^2$ 与 $y=\sqrt{x}$ 所围成的平面图形的面积。
求心形线 $\rho=1-\cos \theta$ 所围图形的面积。
求曲线 $y^2=2 x$ 和直线 $y=x-4$ 所围图形的面积．
设 $D$ 是曲线 $f(x)=4-x^2(0 \leq x \leq 2)$ 和该曲线段上点 $(a, f(a))(0 \leq a \leq 2)$ 处的切线，$y$轴与直线 $x=2$ 所围成的图形．
（1）求区域 $D$ 的面积．
（2）试问 $a$ 取何值时，$D$ 的面积取得最小值，并求此时的面积．