单选题 （共 6 题 ），每题只有一个选项正确
利用夹逼准则，极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} \int_0^1 \frac{x^n}{1+x} d x$ 为（ ）
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ $\frac{1}{4}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{D.}$ 1
设函数 $f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1-x^{2 n}}{1+x^{2 n}} \cdot x\right)$ ，则 $\int_0^2 f(x) d x=(\quad)$ ．
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 0
$\text{C.}$ -1
$\text{D.}$ -2
设 $I_1=\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\tan x}{x} \mathrm{~d} x, I_2=\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{x}{\tan x} \mathrm{~d} x$, 则
$\text{A.}$ $I_1>I_2>1$;
$\text{B.}$ $1>I_1>I_2$;
$\text{C.}$ $I_2>I_1>1$;
$\text{D.}$ $1>I_2>I_1$.
估计 $I=\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{5 \pi}{4}}\left(1+\sin ^2 x\right) \mathrm{dx}$ 的值为 ．
$\text{A.}$ $\frac{\pi}{2} \leq I \leq \pi$
$\text{B.}$ $\pi \leq I \leq 2 \pi$
$\text{C.}$ $\frac{\pi}{2} \leq I \leq 2 \pi$
$\text{D.}$ $\pi \leq I \leq \frac{3 \pi}{2}$
若 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上连续，则 $\int_a^b f(x) d x-\int_a^b f(t) d t$ 的值为
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ $f(b)-f(a)$
$\text{C.}$ 1
$\text{D.}$ 无法确定
下列定积分为零的是 ．
$\text{A.}$ $\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\arctan x}{1+x^2} d x$
$\text{B.}$ $\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} x \arcsin x d x$
$\text{C.}$ $\int_{-1}^1 \frac{e^x+e^{-x}}{2} d x$
$\text{D.}$ $\int_{-1}^1\left(x^2+x\right) \sin x d x$
填空题 （共 7 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
定积分 $\int_{-\pi}^\pi \cos x \sin x d x=$
极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}\left(\frac{1}{n^2}+\frac{2^2}{n^2}+\cdots+\frac{n^2}{n^2}\right)=$ $\qquad$ ．
极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^2}\left(\sin \frac{1}{n}+2 \sin \frac{2}{n}+\cdots+n \sin \frac{n}{n}\right)=$ $\qquad$ ．
定积分 $\int_0^2 \sqrt{4 x-x^2} d x=$ $\qquad$ ．
已知 $\int x f(x) \mathrm{d} x=\arcsin x+C$ ，则 $\int \frac{1}{f(x)} \mathrm{d} x=$
设 $\int f(x) d x=F(x)+C$ ，则 $\int e^{-x} f\left(e^{-x}\right) d x=$
$\int_{-1}^1 \frac{x \cos x}{x^2+\cos x+2} d x=$
解答题 （共 13 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
对任意常数 $a$, 证明 $\int_0^a f(x) d x=\int_0^a f(a-x) d x$.
求 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}\left(\sqrt{1+\frac{1}{n}}+\sqrt{1+\frac{2}{n}}+\cdots+\sqrt{1+\frac{n}{n}}\right)$ ；
设 $f(x)=\frac{1}{1+x^2}+x^3 \int_0^1 f(x) d x$ ，则 $\int_0^1 f(x) d x=$
证明积分中值定理：若函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，则在闭区间 $[a, b]$ 内至少存在一点 $\xi$ ，使
$$
\int_a^b f(x) d x=f(\xi)(b-a)(a \leq \xi \leq b)
$$
计算导数 $\frac{d}{d x} \int_{\sin x}^{\cos x} \cos \left(\pi t^2\right) d t$
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^2, & 0 \leq x \leq 1 \\ x-1, & 1 < x \leq 2\end{array}\right.$ ，求 $\varphi(x)=\int_0^x f(t) d t$ 在 $[0,2]$ 上的表达式，并讨论 $\varphi(x)$ 在 $(0,2)$ 内的连续性及可导性．
求由 $\int_0^y e^t d t+\int_0^x \cos t d t=0$ 所决定的隐函数 $y$ 对 $x$ 的导数 $\frac{d y}{d x}$
求导 $\frac{d}{d x} \int_0^{x^2} \sqrt{1+t^2} d t$ ；
求导 $\frac{d}{d x} \int_{x^2}^{x^3} \frac{1}{\sqrt{1+t^4}} d t$ ；
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\left(\int_0^x e^{t^2} d t\right)^2}{\int_0^x t e^{2 t^2} d t}$ ．
证明 $\int_x^1 \frac{d x}{1+x^2}=\int_1^{\frac{1}{x}} \frac{d x}{1+x^2}(x>0)$.
求极限 $\lim _{x \rightarrow a} \frac{x}{x-a} \int_a^x f(t) d t$ ，其中 $f(x)$ 连续；
求极限 $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\int_0^x(\arctan t)^2 d t}{\sqrt{x^2+1}}$ ．